Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Sun Mar 06 06:00 PM 2011 C
% Last Change: Sun Mar 06 06:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
 
\begin{document}
\section{Różności}
 
\begin{enumerate}
    \item Wyznacz wszystkie takie liczby pierwsze $p, q, r$, że
        \[
        \frac{pqr}{p+q+r} = 11.
        \]
    \item Zbiór $M$ tworzą wszystkie liczby siedmiocyfrowe zapisane przy
        pomocy cyfr $1,2,3,4,5,6,7$ tak, że żadna cyfra nie powtarza się.
        Rozstrzygnąć, czy w~zbiorze $M$ istnieje $5$ takich liczb, że suma
        trzech z~nich jest sumą dwóch pozostałych.
    \item Udowodnij, że dla żadnej liczby naturalnej $n > 2$ nie istnieją
        wielomiany o~współczynnikach całkowitych dodatnich $P, Q, R$, takie, że
        \[
        P^n + Q^n = R^n.
        \]
    \item Okręgi w~promieniach $r_1$ i~$r_2$ przecinają się w~punktach $A$
        i~$B$ oraz są styczne do okręgu $o$ o~promieniu $r$ wewnętrznie w~punktach $C$
        i~$D$ odpowiednio. Uzasadnić, że jeśli punkty $B, C, D$ są
        współliniowe to $r = r_1 + r_2$.
    \item Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi
        \[
        n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n
        \]
    \item Niech $ \triangle ABC$ będzie trójkątem ostrokątnym, a~$H$ będzie
        ortocentrum $ \triangle ABC$. Uzasadnij, w~zależności od długości
        boków $ \triangle ABC$, który z~okręgów opisanych na trójkątach $ \triangle ABH,  \triangle
        BCH,  \triangle CAH$ ma największy promień.
    \item Dany jest trójkąt $ \triangle ABC$. Podaj warunek na to, żeby na
        boku $AC$ istniał punkt $S$ taki, że $AS\cdot CS = BS^2$. W~przypadku,
        gdy taki punkt istnieje, podać konstrukcję.
    \item Znajdź wszystkie takie liczby naturalne $n\geq 2$, że wszystkie
        liczby naturalne mniejsze od $n$ i~względnie pierwsze z~$n$ tworzą
        ciąg arytmetyczny.
\end{enumerate}
 
\end{document}