|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: a.tex
% Created: Thu Feb 10 11:00 PM 2011 C
% Last Change: Thu Feb 10 11:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\begin{document}
\section{Olomiany}
\date{}
\subsection{Teoria.}
Jeżeli nie powiedziano inaczej ``wielomian'' znaczy ``wielomian
o~współczynnikach rzeczywistych.''
\def\deg{\operatorname{deg}}
\begin{enumerate}
\item \begin{defn} \emph{Stopniem} wielomianu $W(x)=a_0+a_1\cdot x+...+a_n\cdot
x^n$ (gdzie $a_n\neq0$) nazywamy $n$ i oznaczamy to $\deg W(x)=n$.
Przyjmujemy, że stopień wielomianu $W(x)=0$ wynosi
$-\infty$.
Przy takich konwencjach zachodzi
\[\deg
(U\cdot V) = \deg V + \deg U \hbox{ oraz } \deg (U + V) \leq
\max(\deg U, \deg V).\]
Mówimy, że $\deg$ \emph{zadaje gradację.}
\end{defn}
\item \begin{thm}[Interpolacja Lagrange'a]
Niech $x_1,x_2,...,x_n,x_{n+1}\in \mathbb{R}$ będą parami różne oraz
niech $y_1,...,y_{n+1}$ będą rzeczywiste. Wtedy wśród wielomianów
stopnia $n$ (o~jeden mniej niż punktów!) lub mniejszego istnieje dokładnie jeden wielomian
$W(x)$ spełniający $W(x_i)=y_i$ dla $i=1,2,...,n+1$.
\end{thm}
\item \begin{thm}[Bezout] Dla każdego $x_0$ i każdego wielomianu $W(x)$
zachodzi $W(x)=(x-x_0)P(x)+W(x_0)$, gdzie $P(x)$ jest wielomianem,
który jest \textbf{różny dla różnych $x_0$}. Ponadto jeżeli $W(x)$
miało współczynniki całkowite i $x_0$ jest całkowite, to $P(x)$ ma
współczynniki całkowite.\end{thm}
\item Warto pamiętać, że wielomian to jednocześnie funkcja i~że obie te
rzeczy wyznaczają się wzajemnie.
\end{enumerate}
\subsection{Teoria II}
\begin{enumerate}
\item \begin{thm}[Zasadnicze twierdzenie algebry, w~rzeczywistych]
Każdy wielomian $W$ o~współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć
na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
\end{thm}
\item \begin{thm}[Zasadnicze twierdzenie algebry, zespolone]
Każdy wielomian $W$ o~współczynnikach zespolonych można rozłożyć
na iloczyn wielomianów liniowych o~współczynnikach zespolonych.
\end{thm}
\item \begin{thm}[wzory Vi\`ete'a]
Niech $x_1, x_2, \dots, x_n$ będą pierwiastkami wielomianu
\[W(x) = a_n x^n
+ a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,\; a_n\neq 0\] o
współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych).
Wówczas prawdziwe są wzory:
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n}
\\ x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots +
x_{n-1} x_n = \tfrac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n =
(-1)^n \tfrac{a_0}{a_n} \end{cases} \]
\end{thm}
Ponieważ na olimpiadzie brak liczb zespolonych, wzorów Vi\`ete'a używa się,
jeżeli w~zadaniu jest wprost powiedziane, że wielomian (stopnia $n$) ma
$n$ pierwiastków (rzeczywistych).
\item \begin{thm}[O~wielomianach symetrycznych]
Jeżeli wielomian $W$, być może wielu zmiennych $x_1,\dots,x_n$, jest symetryczny,
to jest on sumą iloczynów wielomianów $1, x_1 + x_2 + \dots x_n,
x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2, \dots, x_1^n + x_2^n + \dots
x_n^n$.
\end{thm}
\end{enumerate}
\subsection{Zadanka.}
\begin{enumerate}
\item Wyznaczyć $a,b$ tak, aby wielomian $x^4 + x^3 + 2x^2 + ax + b$ był
kwadratem innego wielomianu.
\item Wypisz explicite tj. jawnie rozkład wielomianu $x^4 + 1$ na
wielomiany drugiego stopnia, wynikający z~zasadniczego twierdzenia
algebry.
\item Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $a,b$, dla których wielomiany
$f(x) = x^5 + ax^3 + x^2 + 1$ i~$g(x) = x^4 + ax^2 + x + b$ mają
wspólny pierwiastek (wypisać równanie na $a$ w~zależności od $b$).
\item Wielomian $P$ nie jest stały, a~$Q, R$ są takie, że $Q(P(x)) =
R(P(x)))$ dla wszystkich $x$. Uzasadnić, że $Q = R$.
\end{enumerate}
\subsection{Zadania.}
\begin{enumerate}
\item Czy twierdzenie interpolacyjne Lagrange'a pozostanie prawdziwe,
jeżeli zamienimy w~``wielomian'' na ``wielomian o~współczynnikach
całkowitych'' oraz założymy, że liczby $x_i, y_i$ są całkowite?
\item Czy zasadnicze twierdzenie algebry pozostanie w~mocy, jeżeli zamiast
``wielomian'' wstawić w~nim ``wielomian o~współczynnikach
całkowitych''?
\item Wielomian o~współczynnikach rzeczywistych $x^n + a_{n-3}x^{n-3} +
\dots + a_0$ ma $n$ pierwiastków rzeczywistych. Oblicz jego
współczynniki.
\item Wielomian $P(x)$ stopnia $n$, o współczynnikach rzeczywistych, dla dowolnej liczby
$k=0,1,...,n$ spełnia równość $P(k)=\frac{k}{k+1}$. Obliczyć $P(n+1)$.
\emph{Czy założenie, że wielomian $P$ jest stopnia $n$ jest potrzebne?}
\item Dana jest liczba naturalna $k \geq 2$ oraz liczby całkowite
$a_1,\dots,a_n$ spełniające warunki
\[
a_1 + a_22^i + a_33^i + \dots a_nn^i = 0 \hbox{ dla }i=1,2,\dots,k-1.
\]
Dowieść, że liczba $a_1 + a_22^k + \dots + a_nn^k$ jest podzielna
przez $k!$.
\end{enumerate}
\subsection{Wielomiany o~współczynnikach całkowitych}
\begin{enumerate}
\item Niech $P(x)$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych.
Wykazać, że jeżeli dla co najmniej 6 różnych liczb całkowitych
przyjmuje on wartość 2007, to $P(x)$ nie ma pierwiastków całkowitych.
\item Czy istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych stopnia
większego niż $1$ mający wszystkie wartości (dla argumentów
całkowitych) będące liczbami złożonymi (czyli liczbami całkowitymi
dodatnimi, nie będącymi pierwszymi i nie będącymi jedynką)?
\item Czy istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych stopnia
większego niż $1$ mający wszystkie wartości (dla argumentów
całkowitych) będące liczbami pierwszymi?
\end{enumerate}
\subsection{Zady}
\begin{enumerate}
\item Udowodnić, że każdy wielomian jest sumą trzecich potęg wielomianów.
\item Niech $F,G,H$ będą wielomianami stopnia co najwyżej $2n+1$ o współczynnikach rzeczywistych, takimi, że
\begin{enumerate}
\item dla wszystkich $x\in\mathbb{R}$ jest $F(x)\leq G(x)\leq H(x)$,
\item istnieją takie parami różne $x_1,...,x_n$, że $F(x_i)=H(x_i)$ dla $i=1,2,...,n$,
\item istnieje takie $x_0$ różne od $x_1,...,x_n$, że $F(x_0)+H(x_0)=2G(x_0)$.
\end{enumerate}
Udowodnić, że $2G(x)\equiv F(x)+H(x)$.
\item Dane są takie niezerowe liczby całkowite $a,b,c$, że $ a + b + c =
0$. Wykazać, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n$ prawdziwa
jest podzielność
\[
a^2 + b^2 + c^2 \Big| a^{n^2 + 1} + b^{n^2 + 1} + c^{n^2 + 1}.
\]
\item W~tym zadaniu ``wielomian'' oznacza wielomian o~współczynnikach
całkowitych.
Możemy zdefiniować relację $\mod $ dla wielomianów przez $P \equiv Q
\mod R$ wtedy i~tylko wtedy, gdy $R \Big| P - Q$, innymi słowy
\[P -
Q\in \left\{ K\cdot R\Big| K \hbox{ -- wielomian } \right\}.\]
Relacja ta ma podobne własności jak dla liczb całkowitych. Zdefiniujmy
teraz relację $P \equiv Q \mod (R_1, R_2)$ przez $P - Q\in \left\{
K_1\cdot R_1 + K_2 \cdot R_2 \Big| K_1, K_2 \hbox{ -- wielomiany
}\right\}$.
Udowodnić, że wartość wielomianu $P$, o~współczynnikach całkowitych,
jest podzielna przez liczbę pierwszą $p$ dla każdego argumentu
całkowitego wtedy i~tylko wtedy, gdy $P \equiv 0 \mod p, x^p - x$.
\end{enumerate}
\end{document}
|
