|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zad.tex
% Created: Sun Feb 06 10:00 PM 2011 C
% Last Change: Sun Feb 06 10:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\begin{document}
\section{Ferie minęły, ale nie chodzimy do szkoły~--- dziwne.}
\subsection{TL}
\begin{enumerate}
\item Niech $a_1,\dots,a_{2n}$ będą różnymi liczbami całkowitymi takimi,
że równanie
\[
(x - a_1)\dots(x-a_{2n}) - (-1)^n (n!)^2 = 0.
\]
ma pierwiastek całkowity $r$. Uzasadnij, że $r = \frac{a_1 + \dots + a_{2n}}{2n}$.
\item Liczby $a,b$ są takie, że
\[
a \Big| b^2 \Big| a^3 \Big| b^4 \Big| a^5 \Big| b^6 \Big|\dots
\]
Udowodnij, że $a = b$.
\item \def\floor#1{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
Udowodnij, że ciąg liczb naturalnych $a_n = n +
\floor{\sqrt{n} + \frac{1}{2}}$ zawiera wszystkie liczby naturalne nie
będące kwadratami i~tylko te ($\floor{x}$ to podłoga z~liczby $x$).
\item Niech $p, q$ -- względnie pierwsze liczby naturalne. Udowodnij, że
\[
\floor{\frac{p}{q}} + \floor{\frac{2p}{q}} + \dots +
\floor{\frac{(q-1)p}{q}} = \frac{(p-1)(q-1)}{2}.
\]
\item Dla $n$ naturalnego niech $F_n = 2^{2^n} + 1$. Udowodnij, że jeżeli
$n\neq m$ to $NWD(F_n, F_m) = 1$.
\item Ile jest rozwiązań równania Pitagorasa $\mod p$, gdzie $p$ jest
pierwsze? Formalniej: ile jest takich trójek $(a, b, c)$ reszt $\mod
p$, że $a^2 + b^2 \equiv c^2 \mod p$? Odpowiedź powinna zależeć
wyłącznie od $p$.
\item
\begin{thm}
Udowodnij, że aby liczba pierwsza była doskonała, potrzeba
i~wystarcza, by była ona postaci $2^{s-1}(2^s - 1)$, gdzie $2^s -
1$ jest liczbą pierwszą.
\end{thm}
\begin{enumerate}
\item Sprawdź, że każda liczba postaci z~zadania jest doskonała.
\item Niech $\sigma(x)$ oznacza sumę dzielników liczby $x$, niech
$n$ będzie liczbą
doskonałą parzystą. Oblicz $\sigma(n)$ w~zależności od $n$. Uzasadnij,
że jeżeli $a$ i~$b$ są względnie pierwsze to
$\sigma(a)\sigma(b) = \sigma(ab)$.
\item Niech $n = 2^{s-1}l$, gdzie $2\not\Big|l$, uzasadnij, że
$2^s \Big|\sigma(l)$ i~że $\sigma(l) = q + l$.
\item Wywnioskuj, że $l$ jest pierwsza i~równa $2^s - 1$ i~zakończ tym samym dowód.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{Nietrudne stereo}
\begin{enumerate}
\item Dany jest równoległościan $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Przekątna $AC_1$
przecina płaszczyznę $A_1BD$ w~$M$. Udowodnić, że $AM =
\frac{1}{3}AC_1$.
\item
\begin{thm}[O~trzech prostopadłych]
Prosta $l$ nie jest prostopadła po płaszczyzny
$\pi$. Niech $l'$
będzie rzutem $l$ na $\pi$ i~niech $l_1$ będzie dowolną prostą
zawartą
w~$\pi$. Udowodnij, że $l_1 \perp l$ wtedy i~tylko wtedy, gdy
$l_1
\perp l'$.
\end{thm}
\item Krawędź $AD$ czworościanu $ABCD$ jest prostopadła do $ABC$.
Uzasadnij, że rzut na $BCD$ ortocentrum trójkąta $ABC$ to
ortocentrum trójkąta $BCD$.
\end{enumerate}
\end{document}
|
