Koło matematyczne I LO w Białymstoku

Poniżej zadania z kółka poprowadzonego przez Łukasza dzisiaj, spisane przez Łukasza. Dzięki! Od siebie dodam, że stanowią one dobry przegląd tego, co może się pojawić na II etapie OMa. Y.

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\Vrule{\smash{\vrule height7pt depth\baselineskip}}
\def\Varule{\smash{\vrule height7pt depth3pt}}
\def\Hrule #1{\Squeeze\multispan#1\hrulefill}
\def\CompressMatrices{\ifmmode \def\quad{\hskip.5em\relax}\fi}
\def\Squeeze{\noalign{\vskip-.5\baselineskip}}
\def\rk{\operatorname {rank}}
\def\lin{\operatorname {lin}}
\def\dim{\operatorname{dim}}
\def\ker{\operatorname{ker}}
\def\det{\operatorname{det}}
\def\im{\operatorname{im}}
\def\id{\operatorname{id}}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\diag{\operatorname{diag}}
\def\spec{\operatorname{spec}}
\def\Abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\def\Norm #1{\left\Vert #1\right\Vert}
\def\cc #1{\overline{#1}}
\def\ip#1#2{\langle #1,#2 \rangle}
\def\bf#1{\textbf{#1}}
\def\mattwo#1#2#3#4{\left[\begin{array}{c c}#1 & #2\\ #3 & #4\\\end{array}\right]}
\def\mattree#1#2#3#4#5#6#7#8#9{\left[\begin{array}{c c c}#1 & #2 & #3\\ #4 & #5 & #6\\ #7 & #8 & #9\\\end{array}\right]}
 
\subimport{../}{style}
 
\begin{document}
\def\rozw{\\ \textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\section{Kółko 26.01.2011 - Nie ma lipy! Czaskamy zadanka! }
\paragraph{Przed treningiem rozgrzewka musi być}
\begin{enumerate}
\item Na płaszczyźnie danych jest $6$ punktów, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Łącząc niektóre z tych punktów narysowano $10$ odcinków. Wykaż, że w ten sposób uzyskano co najmniej jeden trójkąt.
\item Każdy punkt prostej pomalowano jednym z dwóch kolorów. Wykazać, że istnieją trzy różne punkty jednego koloru, z których jeden jest środkiem odcinka o końcach w dwóch pozostałych punktach.
\item Dane są liczby $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Wykonujemy operację polegającą na dodaniu liczby $1$ do pewnych dwóch spośród tych liczb. Postępowanie to kontynuujemy. Czy możemy w ten sposób otrzymać ciąg składający się z sześciu równych liczb?
\item Drzewo binarne to drzewo, w którym każdy wierzchołek ma co najwyżej
    dwóch synów. Regularne drzewo binarne to drzewo, w którym każdy
    wierzchołek ma 0 lub 2 synów. Głębokością wierzchołka w ukorzenionym
    drzewie nazwiemy ilość krawędzi na ścieżce między korzeniem drzewa, a tym
    wierzchołkiem. Liście to wierzchołki, które nie mają synów, a pozostałe
    wierzchołki to węzły wewnętrzne. Niech $X$ będzie sumą głębokości węzłów
    wewnętrznych, a $Y$ sumą głębokości liści w regularnym drzewie binarnym o $n$ wierzchołkach. Udowodnić, że $Y=X+n-1$.
\item Niech waga liścia $x$ o głębokości $d$ drzewa binarnego wyrażona wzorem $w(x)=2^{-d}$. Udowodnij, że $\sum{w(x)} \leq 1$, gdzie sumujemy po wszystkich liściach $x$.
\end{enumerate}
\paragraph{Jedziemy z koksem}
\begin{enumerate}
\item Na szachownicy $9 \times 9$ ustawiono $9$ wież w taki sposób, że żadne dwie nie biją się. Następnie każdą wieżę przestawiono na inne pole ruchem konika szachowego. Wykazać, że po tym przestawieniu pewne dwie wieże biją się.
\item W turnieju tenisa stołowego uczestniczyło $2n$ zawodników. Każdy zawodnik rozegrał z każdym innym zawodnikiem co najwyżej jeden mecz. Po turnieju okazało się, że dokładnie $n$ zawodników rozegrało po dwa mecze, a pozostałych $n$ zawodników po trzy mecze. Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie $n$, dla których taka sytuacja jest możliwa.
\item Rozstrzygnąć, czy istnieje $777$ kolejnych liczby naturalnych, wśród
    których znajduje się dokładnie $7$ liczb pierwszych.
\item W przestrzeni danych jest takich $n$ punktów ($n \geq 4$), że żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie. Każde dwa z tych punktów połączono odcinkiem niebieskim lub czerwonym. Udowodnij, że można tak wybrać jeden z tych kolorów, aby każde dwa punkty były połączone odcinkiem lub łamaną wybranego koloru.
\item Rozstrzygnąć, czy istnieje taki zbiór $S$ złożony z $777$ różnych liczb całkowitych dodatnich, że suma liczb dowolnego niepustego podzbioru zbioru $S$ nie jest kwadratem liczby całkowitej.
\item Dana jest tablica rozmiaru $2n \times 2n$, w której $3n$ pól pomalowano na czarno. Wykazać, że można tak wybrać $n$ kolumn oraz $n$ wierszy, by każde czarne pole znalazło się w pewnym wybranym wierszu lub w pewnej wybranej kolumnie.
\item Czy wierzchołki $20$--kąta foremnego można tak ponumerować liczbami $1,
    2, \dots , 20$, aby użyć wszystkich tych liczb oraz aby dla każdych czterech kolejnych wierzchołków suma ich numerów była nie większa niż $42$? Odpowiedź uzasadnij.
\item Każdą liczbę naturalną pomalowano na jeden z dwóch kolorów. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieją różne liczby naturalne $a,b>n$ takie, że liczby $a,b$ i $a+b$ są jednego koloru.
\item Każdemu wierzchołkowi $100$--kąta foremnego trzeba przyporządkować pewną dodatnią liczbę rzeczywistą. Czy możliwe jest takie przyporządkowanie, w którym każda liczba jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb, które z nią sąsiadują? Odpowiedź uzasadnij.
\item Na niektórych polach kwadratowej planszy o parzystych wymiarach $n \times n$ stoją pionki. Co sekundę jeden z pionków przechodzi na wolne pole sąsiednie. Po pewnym czasie wszystkie pionki znalazły się na swoich wyjściowych pozycjach. Każdy pionek wykonał $n^2$ ruchów i odwiedził wszystkie pola planszy. Dowieść, ze był moment, w którym żaden pionek nie stał na swoim polu wyjściowym.
\item Dany jest ciąg $n^2+1$ liczb. Wykazać, że ciąg ten zawiera podciąg $n+1$--elementowy niemalejący lub podciąg $n+1$--elementowy nierosnący.
\item Z $n^2$ płytek w kształcie trójkąta równobocznego o boku $1$ ułożono trójkąt równoboczny o boku $n$. Każda płytka jest z jednej strony biała, a z drugiej czarna. Ruch polega na wykonaniu następujących czynności: Wybieramy płytkę $P$ mającą wspólne boki z co najmniej dwiema płytkami, których widoczne strony mają kolor inny niż widoczna strona płytki $P$ . Następnie odwracamy płytkę $P$ na drugą stronę. Dla każdego $n \geq 2$ rozstrzygnąć, czy istnieje początkowe ułożenie płytek, pozwalające wykonać nieskończony ciąg ruchów.
\item Szachownicą $n \times n$ wypełniono liczbami rzeczywistymi z przedziału
    $\ip{-1}{1}$. Suma liczb w każdym kwadracie $2 \times 2$ jest zerem. Udowodnić, że suma wszystkich liczb na szachownicy nie przekracza $n$.
\item Liczby $1,2,...,9$ napisano na osobnych kartkach. Gracze na przemian zabierają sobie po jednej z nich. Wygrywa ten, kto jako pierwszy skompletuje trzy kartki o sumie liczby równej $15$. Gracz rozpoczynający wybrał kartkę z liczbą $2$. Jaki ruch powinien wykonać drugi gracz. Czy któryś z zawodników ma strategię wygrywającą? Jeśli tak, to który?
\end{enumerate}
\end{document}