Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Wed Jan 19 07:00 PM 2011 C
% Last Change: Wed Jan 19 07:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\include{style}
 
\begin{document}
\section{random(Staszic)\\[-3cm]{\scriptsize Niech moc, cyrkiel i~linijka będą
z~Tobą.}\\[1cm]}
 
\begin{enumerate}
    \item Rozwiąż w~liczbach całkowitych dodatnich $x, y, z$ równanie $x! + y! = z!.$
    \item
        Suma dodatnich liczb rzeczywistych $a_1,\cdots,a_n$ wynosi $1$.
        Udowodnij, że
        \[
        \frac{a_1^{2}}{a_1 + a_2} + \frac{a_2^2}{a_2 + a_3} + \cdots +
        \frac{a_n^2}{a_n + a_1} \geq \frac{1}{2}
        \]
    \item
        Funkcja $f: \mathbb{R}  \rightarrow \mathbb{R}$ dla dowolnego $x\in
        \mathbb{R}$ spełnia równości:
        \[
        f(x) = f(2x) = f(1-x).
        \]
        Dowieść, że $f$ jest okresowa.
    \item Niech $n$ będzie liczbą naturalną, $q$ liczbą jedynek w~jej zapisie
        binarnym, a~$p$ liczbą zer na końcu zapisu binarnego $n!$. Wykazać, że
        $n = p + q$.
    \item
        \emph{To chyba było.}
 
        Dany jest trójkąt $ABC$ w~którym $AC = BC$. Punkt $D$ jest środkiem
        boku $AB$, a~punkt $E$ jest rzutem prostokątnym punktu $D$ na prostą
        $BC$. Punkt $M$ jest środkiem odcinka $DE$. Dowieść, że proste $AE$
        i~$CM$ są prostopadłe.
    \item Okrąg o~środku $I$ jest wpisany w~trójkąt $ABC$ i~styczny do boku
        $BC$ w~punkcie $A'$. Wykazać, że środki odcinków $BC$ i~$AA'$ są
        współliniowe z~$I$.
    \item Wykaż, że równanie Fermata $x^n + y^n = z^n$ nie ma rozwiązań w~$x,
        y, z\in \mathbb{Z}_+$, gdy $x < n$ (oczywiście $n\in \mathbb{N}$).
    \item Rozwiąż następujący układ równań w~liczbach rzeczywistych:
        \[
        \left\{\begin{array}[<+position+>]{c}
            x^2 + 1 = 2y\\
            y^2 + 1 = 2z\\
            z^2 + 1 = 2x
        \end{array}\right.
        \]
    \item \emph{I~to chyba też.}
 
        W~każde pole nieskończonej szachownicy wpisano liczbę całkowitą
        dodatnią w~taki sposób, że dowolna liczba jest średnią harmoniczną
        liczb sąsiadujących z~nią. Udowodnij, że wszystkie te liczby są parami
        równe.
\end{enumerate}
 
\end{document}