|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: new_zad.tex
% Created: Wed Jan 12 11:00 PM 2011 C
% Last Change: Wed Jan 12 11:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{metathm}{Metatwierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\include{style}
\begin{document}
\section{Jednokładność}
\paragraph{Teoria}
\begin{enumerate}
\item
\begin{defn}Jednokładnością o skali $k$ względem $O$ (który nazywamy środkiem
jednokładności) nazywamy przekształcenie płaszczyzny które każdemu
punktowi $A$ przyporządkowuje punkt $A'$, taki, że:
\begin{itemize}
\item $A,O,A'$ - na jednej prostej
\item $|OA'|=|k||OA|$
\item Jeżeli $k < 0$ to $A, A'$ leżą po różnych stronach $O$, a jeżeli $k > 0$, to po jednej.
\end{itemize}
\end{defn}
Strasznie formalnie wyszło... Alternatywna definicja: Jednokładność jaka jest,
każdy widzi. Najlepiej myśleć o~jednokładności jako o~takim
upgradowanym podobieństwie, ale ono jest mocno upgradowane, jak
Zergling na III poziomie w~porównaniu do tego z~I w~sc.
\item Jednokładność przenosi proste na proste, odcinki na odcinki, okręgi na
okręgi. Mnoży przez $|k|$ długości. Zachowuje kąty i~przenosi punkty
przecięcia na punkty przecięcia. Przenosi równoległe na równoległe.
Z~grubsza zachowuje całą geometrię sytuacji.
\item \begin{metathm}
Jednokładność zachowuje wszystkie sensowne konstrukcje: przenosi
styczne na styczne, środki okręgów opisanych na środki okręgów
opisanych, ortocentra na ortocentra itp.
\end{metathm}
\item \emph{Tylko informacyjnie. Dla głębszych rozważań polecam stare kółka.}
Złożenie dwóch jednokładności o skalach $\alpha, \beta$ jest:
\begin{itemize}
\item Jednokładnością o skali $\alpha\beta$, jeżeli $\alpha\beta\neq1$
\item Translacją (tj. przesunięciem o~wektor), jeżeli $\alpha\beta=1$ (można na to patrzeć jak na jednokładność o nieskończonym środku)
\end{itemize}
\end{enumerate}
\subsection{Zadania}
\begin{enumerate}
\item Okrąg wpisany w $\triangle ABC$ jest styczny do $AB$ w punkcie $E$.
Niech $EF$ będzie średnicą tego okręgu. Okrąg dopisany do boku $AB$
trójkąta $ABC$ jest styczny do tego boku w $G$. Udowodnić, że punkty
$C,F,G$ są współliniowe.
\item Okręgi $O_1$ i $O_2$ są styczne wewnętrznie w punkcie $P$ ($O_2$ ma
mniejszy promień od $O_1$). Cięciwa $AB$
okręgu $O_1$ jest styczna do okręgu $O_2$ w $M$. Udowodnić, że $PM$ jest
dwusieczną kąta $\angle APB$.
\item\begin{thm}[prosta Eulera]
Udowodnić, że w trójkącie nierównobocznym $ABC$ środek ciężkości $M$, ortocentrum
$H$ i środek okręgu opisanego $O$ leżą na jednej prostej.
\begin{enumerate}
\item Rozważyć środki $A', B', C'$ boków $BC, CA, AB$. Udowodnić,
że środek okręgu opisanego na $ABC$ to ortocentrum $A'B'C'$.
\item Udowodnić, że środki ciężkości $\triangle A'B'C'$
i~$\triangle ABC$ pokrywają się.
\item udowodnić twierdzenie, stosując odpowiednią jednokładność.
\item znaleźć stosunek $OM/HM$.
\end{enumerate}
\end{thm}
\item \begin{thm}[okrąg Feuerbacha, dziewięciu punktów]
Niech $H$ i~$O$ oznaczają ortocentrum i~środek okręgu opisanego na
trójkącie nierównobocznym $ABC$. Udowodnić, że
\begin{enumerate}
\item istnieje okrąg przechodzący przez środki boków i~spodki
wysokości $ABC$ (łącznie 6 punktów),
\item środek $F$ tego okręgu leży na prostej Eulera (prostej $HO$), jaki jest
stosunek $FO/HO$?
\item okrąg ten przechodzi również przez środku odcinków łączących
wierzchołki z~ortocentrum (+3 punkty).
\emph{Jeden z~piękniejszych dowodów wykorzystuje odbicia
ortocentrum względem boków.}
\end{enumerate}
\end{thm}
\end{enumerate}
\subsection{Pompowanie}
Zadania ze zbiorku dra~Pompe (na stronie), których dowody każdy na 2. etapie
powinien pamiętać (i~same fakty także $\ddot\smile$):
\begin{center}
\begin{tabular}[<+position+>]{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
9 & 15 & 16 & 17 & 18 & 33 & 34 & 50 & 63\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\subsection{Jedna stereometria na pocieszenie}
\begin{problem}
Sfera wpisana w~czworościan $ABCD$ jest styczna do ścian $ABC$ i~$BCD$
odpowiednio w~punktach $P$ i~$Q$. Dowieść, że $\angle APB = \angle CQD$.
\end{problem}
\mbox{}\source{Wykłady M.~Kiezy}
\end{document}
|
