|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zad.tex
% Created: Mon Dec 27 02:00 PM 2010 C
% Last Change: Mon Dec 27 02:00 PM 2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 25.5cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
\usepackage{multicol}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\include{style}
\begin{document}
\renewcommand{\thethm}{}
\setlength{\topmargin}{-0.5in}
\section{{\scriptsize Dajcie mi punkt podparcia, a~poruszę Ziemię.}\\[-1cm]Środek masy}
\subsection{Teoria}
Wszędzie poniżej zakładamy, że jesteśmy w~płaszczyźnie lub w~przestrzeni i~że
mamy dany pewien układ współrzędnych (kartezjańskich). Nie będę o~tym
mówić, ale rozważania nie zależą od wyboru układu.
Dla wygody oznaczeń definiujemy też operacje na punktach -- mnożenie przez
liczbę rzeczywistą i~dodawanie.
Niech $A = (a_1, a_2)$, $B = (b_1,
b_2)$ oraz $K\in \mathbb{R}$. Wtedy
\[
A + B = (a_1, a_2) + (b_1, b_2) := (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
\[
K\cdot A = K(a_1, a_2) := (Ka_1, Ka_2)
\]
\emph{Jeżeli ktoś woli: są to ``szkolne'' operacje mnożenia przez skalar
i~dodawania wektorów. Równie dobrze można to robić w~trzech wymiarach.}
Rozważamy punkty z~masami tj. pary $(A, m)$, gdzie $A$ jest punktem, a~$m$
jest liczbą rzeczywistą (niekoniecznie dodatnią!) czyli ``masą''.
\begin{defn}
\textbf{Środkiem masy} układu punktów $(m_1, A_1), \cdots, (m_n, A_n)$ jest
punkt (z~masą):
\[
\left(\frac{m_1\cdot A_1 + \cdots + m_n\cdot A_n}{m_1 + \cdots +
m_n}, m_1 + \cdots + m_n\right)
\]
o~ile $m_1 + \cdots + m_n \neq 0$. Jeżeli $m_1 + \cdots + m_n = 0$ to
mówimy, że układ \textbf{nie posiada środka masy}.
\end{defn}
\begin{thm}[o~przegrupowywaniu]
Załóżmy, że układ $(A_1, m_1), \cdots, (A_n, m_n)$ ma środek masy $\mathcal{M}$ i~układ
$A_1,\cdots,A_l$ ma środek masy $M$, wtedy układ $M, A_{l+1}, \cdots, A_n$
także ma środek masy $\mathcal{M}$.
\end{thm}
\emph{Intuicyjnie: chcąc obliczyć środek masy możemy zamieniać część punktów
na ich środek masy, wyróżniłem akurat punkty $A_1,\cdots,A_l$ tylko ze względu
na prostotę oznaczeń ;)}
\begin{proof}
Obliczam
\[
\mathcal{M} = \left( \frac{m_1A_1 + \cdots + m_nA_n}{m_1 + \cdots + m_n},
m_1 + \cdots + m_n\right)\quad
M = \left( \frac{m_1A_1 + \cdots + m_lA_l}{m_1 + \cdots + m_l}, m_1 +
\cdots + m_l \right)
\]
Suma mas układu $M,(A_{l+1}, m_{l+1}), \cdots, (A_n, m_n)$ to $(m_1 +\cdots + m_l) + m_{l+1}
+ \cdots + m_n$, czyli jest ona niezerowa (bo to masa całego układu)
więc~środek masy istnieje i~wyraża się wzorem
\[
\left( \frac{(m_1 + \cdots + m_l)\frac{m_1A_1 + \cdots + m_lA_l}{m_1 +
\cdots + m_l} + m_{l+1}A_{l+1} + \cdots + m_nA_n}{(m_1 + \cdots + m_l) +
m_{l+1} + \cdots + m_n}, (m_1 + \cdots + m_l) + m_{l+1} + \cdots + m_n\right) = \mathcal{M}
\]
\end{proof}
\subsection{Pytania i~problemy wstępne}
\begin{enumerate}
\item Gdzie leży środek masy układu złożonego z~jednego punktu?
\item Gdzie leży
środek masy układu złożonego z~dwóch punktów?
\textbf{Uwaga:} to pytanie, wbrew prostocie jest \textbf{kluczowe},
gdyż obliczenie środka ciężkości dowolnego układu sprowadza się
do obliczania środków masy dla par punktów.
\item Załóżmy, że punkty $A, B, C$ tworzą trójkąt. Czym są (jaka jest
konstrukcja) punkty będące środkami ciężkości układów:
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $(A, 0), (B, 1), (C, 1)$,
\item $(A, 1), (B, 1), (C, 1)$,
\item $(A, -1), (B,1), (C, 0)$,
\item $(A, -1), (B,1), (C, 1)$?
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\begin{thm}[współrzędne barycentryczne]
Niech $ABC$ będzie trójkątem na płaszczyźnie. Dla każdego punktu $D$ tej
płaszczyzny da się tak dobrać masy $m_1, m_2, m_3$, że $(D, m_1 + m_2 +
m_3)$ jest środkiem ciężkości $(A, m_1), (B, m_2), (C, m_3)$.
Jeżeli dodatkowo nałożymy warunek, że $m_1 + m_2 + m_3$ musi być równe
$1$ (żeby uniknąć niejednoznaczności typu $(A,1), (B,1), (C,1)$ i~$(A,2),
(B, 2), (C, 2)$), to takie masy da się dobrać na dokładnie jeden sposób.
Masy $m_1,m_2,m_3$ nazywają się współrzędnymi barycentrycznymi $D$.
\end{thm}
\emph{Rozwiązywanie geometrii przy użyciu środka masy polega na dobraniu mas
do istniejących punktów, tak, aby środek masy był czymś ciekawym. Działa to
świetnie z~``udowodnić, że $1000$ linii przecina się w~jednym punkcie'', czy
że jakiś odcinek dzieli się w~danym stosunku a~o~wiele gorzej z~okręgami czy
kątami.}
\subsection{Zadania}
\begin{enumerate}
\item Niech $ABCD$ będzie wypukłym czworokątem i niech $K,L,M,N$ będą
środkami boków $AB,BC,CD,DA$ odpowiednio. Udowodnij, że $KM$ i $LN$
połowią się, więc $KLMN$ jest równoległobokiem i że środek tego
równoległoboku pokrywa się ze środkiem odcinka łączącego środki
przekątnych.
\item \begin{thm}[Cevy] Punkty $X,Y,Z$ leżą na bokach $BC,CA,AB$ trójkąta
$ABC$ odpowiednio. Udowodnij, że proste $AX,BY,CZ$ mają punkt
wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy
\[\frac{AZ}{BZ}\cdot\frac{BX}{CX}\cdot\frac{CY}{AY}=1\]
\end{thm}
\item
Na bokach $AB, BC, CA$ trójkąta $ABC$ wybrano punkty $Z, X, Y$ tak, że
\[\frac{AZ}{BZ} = \frac{BX}{CX} = \frac{CY}{AY}.\]
Dowiedź, że środki ciężkości trójkątów $ABC$ i~$XYZ$ pokrywają się.
\item
\begin{thm}[van Aubela]
Dany jest trójkąt $ABC$ i~punkty $X, Y, Z$ leżące na bokach
odpowiednio $BC, CA, AB$. Proste $AX, BY, CZ$ przecinają się
w~punkcie $M$. Wykazać, że
\[
\frac{AM}{MX} = \frac{AY}{CY} + \frac{AZ}{BZ}.
\]
\end{thm}
\item \emph{Punkty szczególne w~trójkącie mające w~miarę strawne współrzędne
barycentryczne.}
Udowodnić, że jeśli w~punktach $A, B, C$ trójkąta
położymy masy $m_1, m_2, m_3$ to środek ciężkości pokryje się
z~następującym punktem szczególnym trójkąta $ABC$:
\begin{tabular}[<+position+>]{|c|c|c|}
\hline
Punkt & masy & objaśnienie\\
\hline
środek ciężkości & $(1, 1, 1)$ &\\
środek okręgu wpisanego & $(a, b, c)$ & długości boków\\
środek okręgu dopisanego do $BC$ & $(-a, b, c)$ &\\
środek okręgu opisanego & $(\sin 2\alpha, \sin 2\beta, \sin
2\gamma)$ & $\alpha, \beta, \gamma$ to kąty przy $A,B,C$\\
\hline
\end{tabular}
\item
Weźmy trójkąt $ABC$.
Załóżmy, że parami różne punkty $T, U, V$ mają współrzędne barycentryczne
$(t_1,t_2,t_3), (u_1,u_2,u_3)$, $(v_1,v_2,v_3)$. Uzasadnić, że punkty te
leżą na jednej prostej wtedy i~tylko wtedy, gdy istnieją takie
niezerowe liczby rzeczywiste $\alpha, \beta, \gamma$, że
\[
\alpha(t_1,t_2,t_3) + \beta(u_1,u_2,u_3) + \gamma(v_1, v_2,
v_3) = 0.
\]
\item
Dany jest czworokąt $ABCD$. Punkty $X, Y, Z, T$ leżą na bokach $AB$,
$BC$, $CD$, $DA$ odpowiednio, przy czym $AX/BX = DZ/CZ = 3$ oraz $BY/CY
= AT/DT = 5$. Niech $E$ będzie punktem przecięcia $XZ$ i~$YT$. Ile
wynosi $XE/EZ$, a~ile $YE/TE$?
\item Punkty $K$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku
$ABCD$, przy czym $BK=DL$. Odcinki $DK$ i $BL$ przecinają się w punkcie
$P$. Dowieść, że prosta $AP$ jest dwusieczną kąta $BAD$.
\source{Staszic}
\emph{Wskazówka: warto użyć tw. o~dwusiecznej: dwusieczna $\angle BAC$ dzieli bok
$BC$ w~stosunku $AB/AC$, żeby uniknąć kątów.}
\end{enumerate}
\end{document}
|
