Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Tue Nov 30 10:00 PM 2010 C
% Last Change: Tue Nov 30 10:00 PM 2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 27cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\qquadŹródło: #1}
 
 
%\subimport{../}{style}
\include{style}
 
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-0.5in}
\section{Stare OMy}
 
\begin{enumerate}
    \item \begin{problem}
            Na okręgu obrano $n > 2$ punktów i~każdy z~nich połączono
            odcinkiem z~każdym innym. Czy można wykreślić wszystkie te docinki
            jednym ciągiem tak, żeby koniec ostatniego odcinka był początkiem
            pierwszego wykreślonego?
            \emph{\source{III OM}}
        \end{problem}
    \item
        \begin{problem}
            Dowieść, że kwadrat można podzielić na dowolną większą od
            $5$ liczbę kwadratów, ale nie można go podzielić na $5$ kwadratów.
            \emph{\source{XVI OM}}
        \end{problem}
    \item
        \begin{problem}
            W~przestrzeni leży $2n$ punktów. Udowodnić, że istnieje taka
            płaszczyzna, nie przechodząca przez żaden z~tych punktów, że
            w~każdej z~półprzestrzeni, na które dzieli ona przestrzeń, leży
            $n$ punktów.
            \emph{\source{XVIII OM}}
        \end{problem}
    \item
        \begin{problem}
            Udowodnić, że przy każdym podziale płaszczyzny na trzy zbiory w~co
            najmniej jednym z~nich istnieją dwa punkty odległe o~$1$.
            \emph{\source{XXI OM}}
        \end{problem}
    \item
        \begin{problem}
            Znaleźć największą liczbę naturalną $k$ o~następującej własności:
            istnieje $k$ takich różnych podzbiorów zbioru $n$-elementowego, że
            każde dwa mają część wspólną.
            \emph{\source{XXI OM}}
        \end{problem}
    \item
        \begin{problem}
            W~wielościan wypukły można wpisać sferę. Ściany tego
            wielościanu można pokolorować dwoma kolorami tak, że ściany
            jednego koloru nie mają wspólnych krawędzi. Uzasadnić, że suma pól
            ścian jednego koloru jest równa sumie pól ścian drugiego koloru.
            \emph{\source{XXVI OM}}
        \end{problem}
        \item
            \begin{problem}
                Antek i~Czeczko grają w~następującą grę: na tablicy napisana
                jest liczba całkowita dodatnia $n$. Gracz, na którego przypada
                kolejka wybiera dzielnik $d$ ($d\neq n$) liczby $n$ i~zmienia liczbę na
                tablicy na $n-d$. Gracz, który dostaje na tablicy $n=1$ przegrywa.
 
                Antek zaczyna, potem gracze wykonują ruchy naprzemiennie.
                Zakładając, że Czeczko ogarnia, dla jakich $n$ Antek wygra
                z~nim?
                \emph{\source{XXVII CzeczkOM}}
            \end{problem}
        \item
            \begin{problem}
                W~turnieju Doty uczestniczy $2n$ ($n>1$) zawodników. Turniej
                składa się z~pojedynków jeden-na-jeden, każda para zawodników
                rozgrywa co najwyżej jeden. Dowieść, że jeśli żadna trójka nie
                rozegrała pomiędzy sobą wszystkich trzech partii to liczba
                rozegranych partii nie przekracza $n^2$.
                \emph{\source{XXXVII OM}}
            \end{problem}
    \item
        \begin{problem}
            Na szachownicy o~wymiarach $1000 \times 1000$ pokolorowanej
            standardowo wybrano $1000$-polowy zbiór $A$.
            Udowodnić, że jeśli pomiędzy każdymi dwoma punktami z~$A$ istnieje
            droga złożona z~sąsiadujących bokami~pól $A$, to $A$ zawiera co najmniej
            $250$ pól białych.\emph{\source{XXXVIII OM}}
        \end{problem}
    \item \begin{problem}
            Rozważamy grę w~``samotnika'': na nieskończonej szachownicy
            stoją piony, tworząc prostokąt o~liczbie pól podzielnej przez
            $3$.
 
            Jeżeli na dwóch polach mających wspólny bok stoją piony,
            a~kolejne (w~linii pionowej lub poziomej) pole jest puste, to
            możemy te piony usunąć i~postawić pion na trzecim z~pól.
 
            Udowodnij, że nie da się w~ten sposób uzyskać sytuacji, gdy na
            szachownicy jest tylko jeden pion.
            \emph{\source{XXXIV OM}}
        \end{problem}
\end{enumerate}
 
\end{document}