Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: czw maj 13 11:00  2010 C
% Last Change: czw maj 13 11:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newtheorem{problem}[thm]{Zadanie}
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\par}
 
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Dirichlet}
 
\paragraph{Teoria:}
\begin{enumerate}
    \item Dirichlet jest wszędzie, nawet tam, gdzie się go nie spodziewasz... Bądź ostrożny, żeby Cię nie dopadł :)
    \item \begin{thm}[Zasada szufladkowa, Dirichleta, gniazd gołębich ...]
            Jeżeli mamy $n+1$ przedmiotów i $n$ szufladek i wkładamy przedmioty do szufladek, to w pewnej szufladce będą 2 przedmioty.\end{thm}
        \item Inne często używane sformułowanie: Jeżeli mamy $n$ przedmiotów i $n$ szufladek i wkładamy przedmioty do szufladek tak, że w żadnej szufladce nie ma więcej niż jednego przedmiotu, to \textbf{każda} szufladka jest niepusta.
    \end{enumerate}
 
    \paragraph{Zadanka normalne}
    \begin{enumerate}
        \item Danych jest 6 punktów o współrzędnych całkowitych na płaszczyźnie. Udowodnić, że środek pewnego odcinka o końcach w tych punktach ma współrzędne całkowite.
        \item Uzasadnij, że wśród sieściu osób są trzy, z których każde dwie
            znają się, lub trzy, z których żadne dwie nie znają się.
        \item Udowodnij, że wśród dowolnych $n+1$ liczb całkowitych istnieją dwie, których
            reszty z dzielenia przez $n$ są równe.
        \item W turnieju szachowym startuje $n\geq 2$ zawodników. Każda para rozgrywa dokładnie jeden mecz. Udowodnić, że w każdej chwili turnieju istnieje 2 graczy, którzy rozegrali (do końca) po tyle samo partii.
        \item Niech $n\in \mathbb{Z}$ i niech $a_1,a_2,\cdots, a_n$ będą liczbami całkowitymi. Udowodnij, że istnieją takie $1\leq k \leq l \leq n$, że $a_k+a_{k+1}+\cdots+a_l$ jest podzielne przez $n$.
        \item Udowodnij "`słabsze twierdzenie Fermata"': dla danej liczby
            pierwszej $p$ i dodatniej liczby $a$ istnieje takie $n$, $2\leq
            n\leq p + 1$, że $p|a^n-a$.
 
            A czy istnieje takie $n$ wśród liczb $\left\{ 2,3,\cdots,p
            \right\}$?
    \end{enumerate}
 
    \paragraph{Poziom pro}
    \begin{enumerate}
        \item Uzasadnij, że istnieje liczba złożona (w zapisie dziesiętnym)
            z cyfr $0,9$ i podzielna przez $123456789$.
        \item Pomiędzy każdymi z dwoma z $17$ planet istnieje połączenie
            hiperprzestrzenne. Połączenia są obsługiwane przez firmy: ``UFO
            ltd.'', ``NASA shuttle'', ``Overlord transport''. Uzasadnić, że
            pomiędzy pewnymi trzema planetami \textbf{wszystkie} połączeniami są
            obsługiwane przez tę samą firmę.
    \end{enumerate}
 
    \paragraph{Master class}
    \begin{enumerate}
        \item Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ względnie pierwszej z $10$ udowodnij,
            że istnieje liczba podzielna przez $n$ mająca w zapisie po tyle samo
            cyfr $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
        \item Jocz przygotowuje się do OI. Załatwił sobie zwolnienie na $11$
            tygodni (!!!). W tym czasie zamierza dziennie robić co najmniej
            $1$ zadanko, ale w każdym pełnym tygodniu nie zrobić więcej niż
            $12$ zadanek (żeby się nie przemęczać). Udowodnij, że istnieją
            takie $a,b$, że od dnia $a$ do dnia $b$ (włącznie) Jocz rozwiązał dokładnie 21 zadań.
    \end{enumerate}
 
    \end{document}