Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newtheorem{problem}[thm]{Zadanie}
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\par}
 
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Podstawy geometrii}
\renewcommand{\thethm}{}
 
Dzisiaj postaramy się udowodnić twierdzenia, które zwykle podawane są bez
dowodu. Są to dość podstawowe twierdzenia, więc będziemy używać dość skromnych
środków dowodowych: podobieństwa trójkątów, równości kątów
wierzchołkowych i naprzemianległych, obrotów i symetrii, twierdzenia Talesa.
 
Przypomnijmy, że już udowodniliśmy (co prawda przy pomocy Pitagorasa), że:
\begin{enumerate}
    \item \begin{thm}[Okrąg opisany na trójkącie]
            Istnieje dokładnie jeden okrąg opisany na danym trójkącie
        $ABC$. Jego środek jest punktem przecięcia symetralnych boków $AB, BC,
        CA$, zwykle oznaczanym $O$.\end{thm}
    \item \begin{thm}[Okrąg wpisany] Istnieje dokładnie jeden okrąg wpisany w trójkąt $ABC$.
            Jego środek jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów $\angle CAB, \angle
            ABC, \angle BCA$, zwykle oznaczanym $I$.\end{thm}
        \item \begin{thm}[Istnienie ortocentrum] Wysokości w trójkącie przecinają się w jednym punkcie
            zwanym \emph{ortocentrum} trójkąta, zwykle oznaczanym $H$.\end{thm}
        \end{enumerate}
 
\paragraph{Udowodnij:}
\begin{enumerate}
    \item \begin{thm}[Pitagorasa]
            Jeżeli trójkąt $ABC$ jest prostokątny z przeciwprostokątną $AC$,
            to
            $$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2$$
        \end{thm}
    \item \begin{thm}[o kącie wpisanym i środkowym]
            Dany jest okrąg o środku w $O$ oraz punkty $A, B, C$ leżące na tym okręgu.
            Wtedy
            $$\angle AOB = 2\angle ACB$$
            gdzie kąt $AOB$ jest brany odpowiednio -- kąt wklęsły jeżeli
            $\angle ACB > 90\deg$.
        \end{thm}
    \item \begin{thm}[Równość kątów wpisanych]
            Punkty $A,B,C,D$ leżą na okręgu, przy czym $C$ i $D$ leżą na tym
            samym łuku $AB$. Wtedy
            $$\angle BCA = \angle BDA$$
        \end{thm}
    \item \begin{thm}[O kącie między styczną a cięciwą]
 
            Niech prosta $AX$ będzie \emph{styczna} do okręgu $o$ w punkcie
            $A$, zaś $BA$ będzie \emph{cięciwą} okręgu $o$. Jeżeli punkt $C$
            leży na okręgu $o$, przy czym kąty $\angle ACB,\angle XAB$ są oba
            ostre lub rozwarte, to
            $$\angle ACB = \angle XAB$$
            \includegraphics{tang.pdf}
        \end{thm}
        \emph{Ten idiotyczny warunek z rozwartością lub ostrością kątów omija
        przypadek gdy punkt $X$ leży po drugiej stronie $A$. Można byłoby
        napisać ``jak na rysunku'' albo coś równie nieprecyzyjnego.}
    \item \begin{thm}
            Na czworokącie wypukłym $ABCD$ można opisać okrąg wtedy i tylko
            wtedy, gdy $\angle ACB = \angle ADB$.
        \end{thm}
    \item \begin{thm}
            Na czworokącie wypukłym $ABCD$ można opisać okrąg wtedy i tylko
            wtedy, gdy $\angle ABC + \angle ADC = 180\deg$.
        \end{thm}
    \item \begin{thm}[Istnienie środka masy]
            W trójkącie $ABC$ trzy środkowe tj.\ proste łączące wierzchołki ze
            środkami przeciwległych boków przecinają się w jednym punkcie. Ten
            punkt nazywamy \emph{środkiem masy} trójkąta $ABC$ i oznaczamy $M$.
            Punkt $M$ dzieli każdą ze środkowych w stosunku $2:1$ licząc od
            wierzchołka.
        \end{thm}
        \emph{Oznaczenie tego punktu jako środka masy stanie się
        naturalniejsze, gdy powiemy więcej o masie.}
\end{enumerate}
\emph{Uwaga: wszystkie powyższe nazwy są opcjonalne tj.\ nie będę wymagać ich
używania. Tym niemniej są one standardowe i sam będę ich używać.}
 
\paragraph{Zastosowania}
\begin{enumerate}
    \item Udowodnij, że jeśli w trójkącie $ABC$ dwusieczna kąta $\angle CAB$
        oraz wysokość opuszczona z wierzchołka $A$ pokrywają się, to trójkąt
        jest równoramienny.
    \item Udowodnij, że jeśli w trójkącie $ABC$ środkowa
        i wysokość opuszczone z wierzchołka $A$ pokrywają się, to trójkąt
        jest równoramienny.
    \item Środek okręgu opisanego i środek masy trójkąta $ABC$ pokrywają się.
        Znajdź możliwe wartości miar kątów $ABC$. Czy umiesz rozwiązać podobne
        zadanie, jeżeli założymy, że inne z punktów szczególnych (środek
        okręgu wpisanego, opisanego, ortocentrum, środek masy) pokrywają się?
    \item Niech $M$ będzie środkiem masy trójkąta $ABC$, punkty
        $A_1,B_1,C_1$ będą środkami boków $BC, CA, AB$ odpowiednio. Udowodnij,
        że pola trójkątów $AB_1M, CB_1M, CA_1M, BA_1M, BC_1M, AC_1M$ są równe.
\end{enumerate}
 
\end{document}