Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: śro kwi 07 07:00  2010 C
% Last Change: śro kwi 07 07:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newtheorem{problem}[thm]{Zadanie}
\newenvironment{proof}{\noindent\textsc{Dowód.}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}{\noindent\textsc{Rozwiązanie. }}
{\par}
 
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
\def\innerprod#1{\left\langle#1\right\rangle}
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{MD}
 
\begin{enumerate}
    \item Ciąg $0123456789101112\dots$ jest utworzony przez konkatenację
        (zapisanie kolejno po sobie) zapisów dziesiętnych kolejnych liczb naturalnych.
        Jeśli pozycja $10^n$
        w tym ciągu (zaczynającym się od pozycji $1$) jest cyfrą z zapisu
        liczby $k$-cyfrowej, to przyjmujemy $f(n) = k$. Na przykład $f(2) =
        2$, ponieważ setna cyfra w tym ciągu stanowi fragment dwucyfrowej
        liczby $55$. Oblicz $f(100\,005)$.
    \item Niech $t(n,k)$ oznacza liczbę podziałów zbioru $\left\{ 1,\dots, n
        \right\}$ na $k$ niepustych części, w których istotna jest kolejność
        elementów w każdej części, ale nieistotna jest kolejność części
        (np. $\left\{ \innerprod{1},\innerprod{2,3} \right\} = \left\{
        \innerprod{2,3}, \innerprod{1}\right\} \neq \left\{
        \innerprod{3,2},\innerprod{1}\right\}$). Udowodnij, że
        $t(n,k)=\frac{n!}{k!}\binom{n-1}{k-1}$.
    \item Oblicz, na ile sposobów można rozdać $7$ dzieciom $21$ identycznych
        cukierków tak, żeby każde dziecko dostało co najmniej $2$, ale co
        najwyżej $4$ cukierki.
\end{enumerate}
$ $\source{Zadania pochodzą z kolokwium z Matematyki Dyskretnej z UW, 29.03.2010}
 
\end{document}