Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: wto mar 23 11:00  2010 C
% Last Change: wto mar 23 11:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newtheorem{problem}[thm]{Zadanie}
\newenvironment{proof}{\noindent\textsc{Dowód.}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}{\noindent\textsc{Rozwiązanie. }}
{\par}
 
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{OMG, OM}
 
\paragraph{Zadania z finału V OMG}
 
\paragraph{Dowolnie dużo a nieskończenie wiele.\\}
\emph{Chuck Norris umie policzyć nieskończenie wiele razy od jeden do
nieskończoności.\\Studenci UW na teorii mnogości}
 
\begin{enumerate}
\item Dla każdej liczby naturalnej $n$ mamy dany ciąg nieskończony liczb rzeczywistych
    $(a_n)$. Rozstrzygnąć, czy istnieje ciąg, którego elementami są wszystkie
    elementy wszystkich ciągów $(a_n)$.
\item Udowodnić, że istnieje bijekcja tj. funkcja różnowartościowa i
    ``na'' ze zbioru liczb naturalnych w dowolny podzbiór nieskończony zbiory
    liczb naturalnych.
\item Udowodnić, że istnieje bijekcja tj. funkcja różnowartościowa i
    ``na'' ze zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb wymiernych.
\item Ciąg arytmetyczny liczb naturalnych, którego pierwszy wyraz i różnica
    są względnie pierwsze nazwiemy \emph{pierwszym}. Udowodnij, że istnieją
    dowolnie długie ciągi pierwsze, których żaden wyraz nie jest liczbą
    pierwszą.\\
    \emph{Uwaga: Każdy ciąg pierwszy nieskończony ma nieskończnenie wiele
    wyrazów będących liczbami pierwszymi --
    to jest (mocno nierobialne) twierdzenie Dirichleta, jedno z
    nielicznych twierdzeń mówiących, że coś jest pierwsze.}
\end{enumerate}
 
\paragraph{Nieskończone OMy}
\begin{enumerate}
    \item Każdy punkt płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych pomalowano
        na biało lub na czarno. Dowieść, że ze zbioru wszystkich pomalowanych
        punktów można wybrać nieskończony podzbiór, który ma środek symetrii i
        którego wszystkie punkty mają ten sam kolor.
        \source{LIX OM, finał}
    \item * Płaszczyznę podzielono prostymi poziomymi i pionowymi na kwadraty
        jednostkowe. W każdy kwadrat należy wpisać liczbę całkowitą dodatnią
        tak, by każda liczba całkowita dodatnia wystąpiła na płaszczyźnie
        dokładnie raz. Rozstrzygnąć, czy można to uczynić w taki sposób, aby
        każda napisana liczba była dzielnikiem sumy liczb wpisanych w cztery
        kwadraty sąsiednie.
        \source{LVIII OM, finał}
\end{enumerate}
 
\end{document}