Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Skrypt PDF.

Źródło skryptu w texu.

%        File: tresc.tex
%     Created: nie mar 07 12:00  2010 C
% Last Change: nie mar 07 12:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\dowod{$ $\\\textbf{Dowód}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Analiza matematyczna}
 
\emph{Została mała przyjemność -- przejdźmy do granicy.}\\
dr \textsc{M. Bobieński} (wykładowca AM)
 
\paragraph{Teoria}
\begin{enumerate}
    \item \emph{Poniższa definicja jest wprowadzona dla porządku -- nie mam
        szans (ani chęci) rozwijać w 1,5h całej teorii granic i pochodnych.}
        \begin{defn} Jeżeli dana jest funkcja $f: \mathbb{R}  \rightarrow \mathbb{R}$
            oraz ustalony jest punkt $x_0\in \mathbb{R}$, to \textbf{pochodną} funkcji $f$
            nazywamy funkcję
            $$f'(x) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$
            dla sensownych funkcji ta pochodna istnieje.\\
            Funkcje, które mają pochodną ciągłą (mniejsza co to znaczy)
            nazywamy \textbf{różniczkowalnymi}, wszystkie sensowne funkcje są
            różniczkowalne.
        \end{defn}
    \item Geometrycznie wartość pochodnej w punkcie $f'(x_0)$ interpretuje się
        jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu $f$ w punkcie $x_0$.
    \item \begin{defn}
            Określamy drugą pochodną funkcji $f$ jako pochodną pochodnej
            funkcji $f$, co oznaczamy (o dziwo) $f''$, trzecią pochodną jako
            pochodną drugiej pochodnej i tak dalej. Ogólniej $n$-tą pochodną
            oznaczamy $f^{(n)}$.
        \end{defn}
            Oczywiście mówimy tutaj o przypadku, gdy pochodne istnieją.
    \item Mała tabelka pochodnych:
        $$\begin{array}{c c c}
            \hbox{Funkcja} & \hbox{Pochodna} & \\
            \hbox{funkcja stała} & 0 & \\
            x & 1 & \\
            x^n & nx^{n-1} & \hbox{ dla }n\in \mathbb{R}, n\neq 0\\
            \sin(x) & \cos(x) & \\
            \cos(x) & -\sin(x) & \\
            e^x & e^x & \\
            \ln(x) & \frac{1}{x} & \\
        \end{array}$$
        Liczba $e\approx 2,7182$ jest straszliwie ważną stałą w matematyce i
        fizyce, $\ln$ oznacza logarytm (patrz wikipedia) o podstawie $e$.\\
        \textbf{Uwaga o $\sin$}: Wszędzie w tym tekście (jak i wszędzie
        indziej) $\sin x$ oznacza sinus $x$ w radianach, nie stopniach!
        $\pi\ rad = 180\deg$. To samo tyczy się pozostałych funkcji
        trygonometrycznych.
    \item Zachodzą mądre wzory na sumę, różnicę, iloczyn oraz iloraz
        pochodnych. Weźmy funkcje różniczkowalne $f,g$ i niech $f', g'$
        oznaczają ich pochodne, niech $c\in \mathbb{R}$ oznacza stałą. Wtedy:
        $$\begin{array}{c c}
            (cf)' = cf' & \\
            (f+g)' = f'+g' & \\
            (f-g)' = f'-g' & \\
            (fg)' = fg' + f'g & \\
            (\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2} & \hbox{ ma sens jeżeli
            }g(x)>0\ \forall_{x\in \mathbb{R}}
        \end{array}$$
    \item \begin{thm}
            Dana jest funkcja $f:\mathbb{R}  \rightarrow \mathbb{R}$. Jeżeli
            punkt $x_0$ jest minimum lokalnym (tj. istnieje $\varepsilon > 0$,
            taki, że dla $x\in (x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\ f(x)
            \geq f(x_0)$).
            $$f'(x_0) = 0$$
            Teza zachodzi również, gdy $x_0$ jest maksimum lokalnym.
        \end{thm}
\end{enumerate}
 
\paragraph{Teoria do funkcji wypukłych}
\begin{enumerate}
    \item \begin{thm}[Rolle]
            Jeżeli $f$ jest różniczkowalna, $a < b$ są liczbami rzeczywistymi
            oraz $f(a) = f(b)$ to
            $$\hbox{ Istnieje }c\in(a,b)\ f'(c) = 0$$
        \end{thm}
    \item \begin{thm}[Lagrange]
            Jeżeli $f$ jest różniczkowalna zaś $a < b$ są liczbami
            rzeczywistymi to
            $$\hbox{ Istnieje }c\in(a,b)\ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$
        \end{thm}
        \dowod
        Niech $g(x):=f(x) - (x-a)\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$. Wtedy
        $$g(a) = f(a),\ g(b) = f(b) - (b-a)\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f(b) -
        (f(b) - f(a)) = f(a) = g(a)$$
        Stosujemy tw. Rolle dla funkcji $g$ i punktów $a,b$ otrzymując
        $$\hbox{ Istnieje }c\in(a,b)\ g'(c) = 0$$
        $$0 = g'(c) = f'(c) - \left((x-a)\frac{f(b) - f(a)}{b-a}\right)'(c) = f'(c) -
        \frac{f(b) - f(a)}{b- a}.$$
        Zauważmy, że tw. Rolle jest wnioskiem z tw. Lagrange, ``wąż zjada własny
        ogon''.
    \item \begin{cor}
            Ustalmy $a < b\in \mathbb{R}$ oraz funkcję różniczkowalną
            $f:\mathbb{R}  \rightarrow \mathbb{R}$.\\
            Jeżeli $f'(x) \geq 0$ dla wszystkich $x\in (a,b)$ to funkcja $f$
            jest niemalejąca na przedziale $(a,b)$.
        \end{cor}
        \dowod
        Weźmy dowolne $c,d:\ a \leq c < d \leq b$. Z tw. Lagrange wiemy, że
        $$\frac{f(d) - f(c)}{d - c} = f'(s)$$
        gdzie $s$ jest pewnym punktem $(c,d)$. Wiemy, że $d-c >0$ i $f'(s)
        \geq 0$, stąd $f(d) - f(c) \geq 0$.
    \item Funkcja jest \emph{wypukła} na przedziale $[a,b]$, jeżeli dla
        wszystkich $c,d\in [a,b]$ odcinek $(c,f(c))---(d, f(d))$ leży ponad
        wykresem funkcji $f$.
    \item Podstawowym faktem dotyczącym funkcji wypukłych jest
        \begin{thm}[Nierówność Jensena]
            Jeżeli funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $[c,d]$, 
            $x_1,\dots,x_n\in [c,d]$, liczby $a_1,\dots,a_n> 0$ oraz $a_1 + \dots + a_n = 1$ to
            $$\sum_{i=1}^n a_if(x_i) \geq f\left(\sum_{i=1}^n a_ix_i\right)$$
        \end{thm}
    \item \begin{cor}
            Ustalmy $a < b\in \mathbb{R}$. Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna i jej pochodna jest
            różniczkowalna oraz $\forall_{x\in(a,b)}\ f''(x) \geq 0$ to
            funkcja $f$ jest wypukła (i możemy stosować nierówność
            Jensena:).\\
            \emph{Uwaga:} Jeżeli mamy mocniejszą nierówność $f'' > 0$, to
            równość w nierówności Jensena zachodzi tylko, gdy $x_1 = x_2 =
            \dots = x_n$.
        \end{cor}
\end{enumerate}
 
\paragraph{Zadania na pochodne}
\begin{enumerate}
    \item Dla liczb dodatnich $a_1, \dots, a_n$ pokazać nierówność między
        średnią arytmetyczną a geometryczną:
        $$\frac{a_1 + \dots +a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1\dots a_n}$$
        bez użycia Jensena, za to z użyciem pochodnych.
    \item Uzasadnić, że dla $x\in [0, \pi/2]$ zachodzi
        $$x\frac{2}{\pi} \leq \sin x \leq x$$
    \item Liczby $x,y,z$ są nieujemne i sumują się do $\pi/2$. Pokazać, że
        $$1\leq \sin x + \sin y + \sin z \leq \frac{\pi}{2}$$
        por. zadanie 1. z Jensena.
    \item Obliczyć maksimum funkcji $x^{1/x}$ dla $x\in [1, \infty)$.
    \item Udowodnić, że dla wszystkich $n\in \mathbb{Z}_+$, $x\geq 0$ zachodzi
        $$e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{x^n}{n!}$$
        \emph{Na AM udowadnia się, że $e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} 1
        + x + x^2/2 + \dots + x^n/n!$.}
\end{enumerate}
 
\paragraph{Zadania z Jensena}
\begin{enumerate}
    \item Liczby $x,y,z$ są nieujemne i sumują się do $\pi/2$. Pokazać, że
        $$\sin x + \sin y + \sin z \leq \frac{3}{2}$$
    \item Dla liczb dodatnich $a_1, \dots, a_n$ pokazać nierówność między
        średnią arytmetyczną a geometryczną:
        $$\frac{a_1 + \dots +a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1\dots a_n}$$
\end{enumerate}
 
\end{document}