Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: zadania.tex
%     Created: pon lut 08 08:00  2010 C
% Last Change: pon lut 08 08:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\mb#1{\mathbb{#1}}
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\def\i{\operatorname{i}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Wzory skróconego mnożenia}
 
\paragraph{Teoria}
Dla liczb $a,b\in \mathbb{R}$ oraz $n\in \mathbb{N}$ zachodzi:
\begin{enumerate}
    \item $$(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n +\binom{n}{1}a^{n-1}b + \dots +
        \binom{n}{n}b^n$$
    \item $$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$$
    \item Jeżeli $2\not| n$ to 
        $$a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots +
        b^{n-1})$$
    \item * Dla liczb zespolonych $z_1, z_2\in \mathbb{C}$ zachodzi jeszcze np.
        $$z_1^2 + z_2^2 = (z_1 +\i z_2)(z_1 - \i z_2)$$
        gdzie $\i$ jest jednostką urojoną (\emph{patrz kółko o zespolonych
        z 2008r.}).
\end{enumerate}
Te wszystkie własności są bardzo ogólne -- dowody są na poziomie algebry, co
znaczy, że można stosować w wielu sytuacjach.
{\footnotesize \emph{Na poziomie licealnym wzory skróconego mnożenia stosuje się głównie
dla liczb całkowitych, wielomianów całkowitych itp.} }
 
\paragraph{Wnioski}
\begin{enumerate}
    \item Jeżeli liczby $a \neq b$ są całkowite, to
        $$a - b | a^n - b^n$$
        dla wszystkich naturalnych $n$. W szczególności
        $$a - 1 | a^n - 1$$
        $$a + 1 | a^{2k+1} + 1$$
    \item Jeżeli wielomian $W$ ma współczynniki całkowite to
        $$a - b | W(a) - W(b)$$
        dla wszystkich liczb całkowitych $a\neq b$.
    \item (twierdzenie B\`ezout) dla każdego $a\in \mathbb{R}$ zachodzi
        $$x - a | W(x) - W(a)$$
        gdzie napis $r(x) | s(x)$ oznacza, że istnieje taki wielomian $q(x)$,
        że $s(x) = r(x)q(x)$. Analogiczne twierdzenie zachodzi dla liczby
        całkowitej $a$ i wielomianów o współczynnikach całkowitych.
\end{enumerate}
 
\paragraph{Zadania}
\begin{enumerate}
    \item (ważne!) Uzasadnić, że jeżeli liczba
        $$2^k + 1$$
        jest pierwsza, to $k = 2^l$ dla pewnego $l\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$.
    \item Uzasadnić, bez trudnych obliczeń, że
        $$43 | 6^4 + 6^2 + 1$$
    \item Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $n$, dla których
        $$n^n + 1 \hbox{ oraz } (2n)^{2n} + 1$$
        są liczbami pierwszymi.
        \source{LVI OM}
    \item Niech $q$ będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej
        liczby naturalnej $n$ liczba
        $$q^{(q+1)^n} + 1$$
        dzieli się przez $(q+1)^{n+1}$ ale nie dzieli się przez $(q+1)^{n+2}$.
        \source{XXXIII OM, via artykuł H. Pawłowskiego}
    \item Udowodnić, że zachodzi $x^2 + x + 1 | x^{1985} + x + 1$, a
        dokładniej, że istnieje taki wielomian $p(x)$ o współczynnikach
        całkowitych, że
        $$x^{1985} + x + 1 = (x^2 + x + 1)p(x)$$
        (w założeniu należy to zrobić bez wyliczania $p(x)$).
 
\end{enumerate}
 
\end{document}