Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zadania2.tex
%     Created: wto lut 02 01:00  2010 C
% Last Change: wto lut 02 01:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\mb#1{\mathbb{#1}}
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Dzień drugi}
 
\setcounter{enumi}{3}
\setcounter{enumii}{3}
\setcounter{enumiii}{3}
 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\setcounter{enumii}{3}
\setcounter{enumiii}{3}
    \item Czy istnieje liczba całkowita postaci
        $$444\dots 4443$$
        która jest podzielna przez $13$?
    \item Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny, a jego wysokości przecinają się w
        $H$. Udowodnij, że okręgi opisane na trójkątach $ABH, BCH, CAH$ mają
        równe promienie.
    \item Niech $n$ będzie liczbą naturalną taką, że $\sqrt{1 + 12n^2}$ jest
        liczbą całkowitą. Udowodnij, że
        $$2 + 2\sqrt{1 + 12n^2}$$
        jest kwadratem liczby całkowitej.
\end{enumerate}
 
\end{document}
 
 
 
 
 
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
%        File: zadania2.tex
%     Created: wto lut 02 01:00  2010 C
% Last Change: wto lut 02 01:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\mb#1{\mathbb{#1}}
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Dzień drugi}
 
\setcounter{enumi}{3}
\setcounter{enumii}{3}
\setcounter{enumiii}{3}
 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\setcounter{enumii}{3}
\setcounter{enumiii}{3}
    \item Czy istnieje liczba całkowita postaci
        $$444\dots 4443$$
        która jest podzielna przez $13$?
        \rozw
        Taka liczba nie istnieje.\\
        Załóżmy, że $13 | \underbrace{4\dots 4}_k 3$.\\
        Zachodzi $13| 1\underbrace{4\dots 4}_k 3 = 13\cdot \underbrace{1\dots
        1}_{k+1}$, a więc
        $$13 | 1\underbrace{4\dots 4}_k 3 - \underbrace{4\dots 4}_k 3 =
        10^{k+1}$$
        Sprzeczność.
    \item Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny, a jego wysokości przecinają się w
        $H$. Udowodnij, że okręgi opisane na trójkątach $ABH, BCH, CAH$ mają
        równe promienie.
        \begin{lem}
            Odbicie ortocentrum w trójkącie względem dowolnego z boków leży na
            okręgu opisanym na trójkącie.
        \end{lem}
        \textbf{Dowód lematu:}
            Dowodzę tylko dla trójkąta ostrokątnego, dla innych dowód jest
            podobny.\\
            Wprowadźmy oznaczenia jak w zadaniu i niech $H'$ oznacza odbicie
            $H$ względem boku $AB$ (bez straty ogólności). Obliczam
            $$\angle AH'B +\angle ACB= \angle AHB + \angle ACB = 180\deg$$
            co dowodzi tezy.
        \rozw
            Niech $o$ oznacza okrąg opisany na $ABC$.\\
            Odbicia punktów $A, B, H$ względem $AB$ leżą na $o$.
            Tym samym punkty $A,B,H$ leżą na okręgu będącym odbiciem
            symetrycznym $o$ względem $AB$, co już dowodzi tezy.
 
    \item Niech $n$ będzie liczbą naturalną taką, że $\sqrt{1 + 12n^2}$ jest
        liczbą całkowitą. Udowodnij, że
        $$2 + 2\sqrt{1 + 12n^2}$$
        jest kwadratem liczby całkowitej.
        \rozw
        Zauważmy, że liczba $\sqrt{1 + 12n^2}$ jest nieparzysta, gdyż jej
        kwadrat jest nieparzysty.\\
        Rozważmy (\emph{trik, trik :)}) równanie
        $$x^2 - x - 3n^2 = 0$$
        Równanie to ma pierwiastki
        $$\frac{1 \pm \sqrt{1 + 12n^2}}{2}$$
        będące liczbami całkowitymi. Niech
        $$x_0 := \frac{1 + \sqrt{1 + 12n^2}}{2}, x_0\in \mathbb{Z}$$
        Teza orzeka, że $4x_0$ ma być kwadratem liczby całkowitej. Udowodnimy,
        że $x_0$ jest kwadratem liczby całkowitej, co już dowodzi tezy.
        $$x_0^2 - x_0 - 3n^2 = 0,\ \ x_0(x_0 - 1) = 3n^2$$
        Liczby $x_0, x_0 - 1$ są względnie pierwsze i nieujemne, więc z rozkładu na czynniki 
        pierwsze wynika, że dla pewnych $k,l\in \mathbb{Z}$:
        $$x_0 =3k^2 \hbox{ i } x_0 - 1 = l^2 \hbox{ lub } x_0 =k^2 \hbox{ i }
        x_0 - 1 = 3l^2$$
        Jeżeliby $x_0 - 1 = 3k^2 \hbox{ i } x_0 - 1 = l^2$ to 
        $$3 | x_0 = l^2 + 1$$
        czyli $l^2 \equiv 2 \mod 3$, sprzeczność, kwadraty nie dają takich
        reszt.\\
        Ostatecznie $x_ 0 = k^2 \hbox{ i }
                x_0 - 1 = 3l^2$, co dowodzi tezy.\\
                \emph{ Osobom zainteresowanym, czy istnieje dużo liczb
                naturalnych $n$ takich, że $1 + 12n^2$ jest kwadratem liczby
                naturalnej, polecam poczytać o Równaniu Pella.}
 
\end{enumerate}
 
\end{document}