Materiały pozakółkowe
Użytkownicy online
Naszą witrynę przegląda teraz 2 gościPróbny II etap -- 1. dzień |
Zadania II |
Wpisany przez Joachim Jelisiejew |
niedziela, 07 lutego 2010 19:50 |
Źródło zadań w texu. % File: zadania1.tex % Created: wto lut 02 12:00 2010 C % Last Change: wto lut 02 12:00 2010 C \documentclass[10pt]{article} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \textwidth 16cm \textheight 24cm \oddsidemargin 0cm \topmargin 0pt \headheight 0pt \headsep 0pt \usepackage[polish]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{import} %\usepackage{MnSymbol} % ---------------------------------------------------------------- \vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small \hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small % THEOREMS ------------------------------------------------------- \newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{cor}[thm]{Wniosek} \newtheorem{lem}[thm]{Lemat} \newtheorem{defn}[thm]{Definicja} \newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość} \newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza} \newtheorem{useless}[thm]{} \def\mb#1{\mathbb{#1}} \def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\} \def\deg{^{\circ}} \subimport{../}{style} %\include{style} \def\source#1{\\Źródło: #1} \begin{document} \section{Dzień pierwszy} \begin{enumerate} \item Czy jest możliwy podział zbioru $\left\{ 1,2,\dots,33 \right\}$ na jedenaście zbiorów 3-elementowych, tak, że w każdym zbiorze jeden z elementów jest równy sumie pozostałych dwóch? \item Niech $\triangle ABC$ będzie prostokątny z $\angle ABC = 90\deg$ oraz $|AB| > |BC|$, niech $\Gamma$ będzie półokręgiem o średnicy $AB$, który leży po tej samej stronie $AB$ co punkt $C$. Niech $P$ będzie punktem na $\Gamma$, takim, że $|BP| = |BC|$ i niech $Q$ będzie punktem na $AB$ takim, że $|AP| = |AQ|$. Udowodnij, że środek $CQ$ leży na $\Gamma$. \item Znajdź wszystkie funkcje $f:\mathbb{Z}_+ \rightarrow \mathbb{Z}_+$ spełniające równanie $$f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) = 3n$$ dla wszystkich $n\in \mathbb{Z}_+$. \end{enumerate} \end{document}
Źródło rozwiązań w texu. % File: zadania1.tex % Created: wto lut 02 12:00 2010 C % Last Change: wto lut 02 12:00 2010 C \documentclass[10pt]{article} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \textwidth 16cm \textheight 24cm \oddsidemargin 0cm \topmargin 0pt \headheight 0pt \headsep 0pt \usepackage[polish]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{import} %\usepackage{MnSymbol} % ---------------------------------------------------------------- \vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small \hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small % THEOREMS ------------------------------------------------------- \newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{cor}[thm]{Wniosek} \newtheorem{lem}[thm]{Lemat} \newtheorem{defn}[thm]{Definicja} \newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość} \newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza} \newtheorem{useless}[thm]{} \def\mb#1{\mathbb{#1}} \def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\} \def\deg{^{\circ}} \subimport{../}{style} %\include{style} \def\source#1{\\Źródło: #1} \begin{document} \section{Dzień pierwszy} \begin{enumerate} \item Czy jest możliwy podział zbioru $\left\{ 1,2,\dots,33 \right\}$ na jedenaście zbiorów 3-elementowych, tak, że w każdym zbiorze jeden z elementów jest równy sumie pozostałych dwóch? \rozw Taki podział nie jest możliwy.\\ Załóżmy, że mamy podział, spełniający warunki. Wtedy w każdym zbiorze suma liczb jest parzysta, a więc suma wszystkich liczb jest parzysta. Suma liczb $1,2,\dots,33$ jest równa $17\cdot 33$, a więc jest nieparzysta, sprzeczność. \item Niech $\triangle ABC$ będzie prostokątny z $\angle ABC = 90\deg$ oraz $|AB| > |BC|$, niech $\Gamma$ będzie półokręgiem o średnicy $AB$, który leży po tej samej stronie $AB$ co punkt $C$. Niech $P$ będzie punktem na $\Gamma$, takim, że $|BP| = |BC|$ i niech $Q$ będzie punktem na $AB$ takim, że $|AP| = |AQ|$. Udowodnij, że środek $CQ$ leży na $\Gamma$. \rozw Trójkąty $\triangle APQ$ i $\triangle BPC$ są równoramienne oraz $$\angle CBP = 90\deg - \angle PBA = \angle PAB$$ tak więc $\triangle APQ \equiv \triangle BPC$.\\ W szczególności $\angle APQ = \angle BPC$, a więc $$\angle CBQ + \angle QPC = 90\deg + \angle QPB + \angle BPC = 90\deg + \angle QPB + \angle APQ = 90\deg + \angle APB = 180\deg$$ Tak więc punkty $B, C, P, Q$ leżą na jednym okręgu, o środku $O$ leżącym w połowie boku $CQ$. Obliczam $$\angle BOP + \angle PAB = 2\angle BCP + \angle CBP = 180\deg$$ Punkty $A, P, O, B$ leżą na okręgu o średnicy $AB$, środek odcinka $CQ$ leży na okręgu o średnicy $AB$, a skoro leży on po tej samej stronie $AB$ co punkt $C$, to leży on na $\Gamma$. \item Znajdź wszystkie funkcje $f:\mathbb{Z}_+ \rightarrow \mathbb{Z}_+$ spełniające równanie $$f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) = 3n$$ dla wszystkich $n\in \mathbb{Z}_+$. \rozw Dla skrótu złożenie funkcji $f$ $k$ razy będę oznaczać $f^{(k)}$.\\ Po pierwsze, zauważmy, że funkcja $f$ jest różnowartościowa: $$f(n) = f(m) \Rightarrow 3n = f(n) + f^{(2)}(n) + f^{(3)}(n) = f(m) + f^{(2)}(m) + f^{(3)}(m) = 3m$$ Przez prostą indukcję udowodnię, że $f(k) = k$.\\ \begin{enumerate} \item Dla $k=1$: $$3 = f^{(3)}(1) + f^{(2)}(1) + f(1) \geq 1 + 1 + 1$$ a więc zachodzą równości i $f(1) = 1$. \item Krok indukcyjny.\\ Zauważmy, że $f(k) \geq k$ gdyż $f$ jest różnowartościowa. Stąd wynika $f^{(2)}(k) \geq k$, a następnie $f^{(3)}(k) \geq k$. $$3k = f(k) + f^{(2)}(k) + f^{(3)}(k) \geq k + k + k$$ a więc zachodzą równości, w szczególności $f(k) = k$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document} |