Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zadania.tex
%     Created: wto gru 22 02:00  2009 C
% Last Change: wto gru 22 02:00  2009 C
%
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\mb#1{\mathbb{#1}}
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
 
\begin{document}
\section{Różne geometrie}
 
\begin{enumerate}
    \item Niech $BD$ będzie dwusieczną w trójkącie $ABC$, przy czym $D\in AC$, oraz
        $M$ będzie środkiem $AC$.
        Prosta $BD$ przecina okrąg opisany na $ABC$ w punkcie $E\neq B$. Okrąg
        o średnicy $DE$ przecina okrąg opisany na $ABC$ w punkcie $F\neq E$.
        Udowodnić, że prosta $BF$ jest symetryczna do środkowej $BM$ względem
        dwusiecznej $BD$ (jest \emph{symedianą}).
    \item Okręgi $o_1$ i $o_2$ są wzajemnie styczne oraz styczne zewnętrznie
        do prostej $k$ w punktach $A$ i $C$. Odcinek $AB$ jest średnicą $o_1$.
        Prosta $BD$ jest styczna do $o_2$ w punkcie $D$. Udowodnij, że $|BD| =
        |BA|$.
    \item Dane są okręgi $o_1 \neq o_2$ wpisane w kąt. Okrąg $o_1$ jest styczny
        do jednego z ramion w punkcie $A$, okrąg $o_2$ jest styczny do
        drugiego z ramion w punkcie $B$. Prosta $AB$ przecina $o_1$ w $E$ i
        $o_2$ w $F$. Udowodnić, że $|AE| = |BF|$.
    \item Okrąg o środku w $I$ jest wpisany trójkąt $ABC$ i styczny do $AB$ w
        punkcie $D$. Okrąg dopisany do boku $AB$ jest styczny do tego boku w
        $E$. Udowodnić, że
        $$|AD| = |BE|$$
    \item Okręgi $o_1,o_2$ są stycznie wewnętrznie do okręgu $o$ w $P$ i $Q$
        odpowiednio. Wspólna styczna zewnętrzna $k$ tych okręgów jest styczna do
        $o_1$ w punkcie $A$ zaś do $o_2$ w $B$, przy czym $P$ i $Q$ leżą po
        tej saej stronie prostej $k$. Udowodnij, że $PA, BQ$
        przecinają się na okręgu $o$.
    \item Dany jest trójkąt $ABC$, punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego,
        zaś punkt $I \neq O$ jest środkiem okręgu wpisanego. Trzy okręgi o równych
        promieniach przecinają się w punkcie $P$, ponadto każdy z nich jest
        styczny wewnętrznie do dwóch boków trójkąta $ABC$. Udowodnić, że $P,
        I, O$ są współliniowe.
    \item * (wymaga tylko cierpliwości) 
        Wykazać, że w 30-kącie foremnym $A_1A_2\dots A_{30}$ przekątne
        $$A_1A_{19}, A_3A_{24}, A_8A_{28}$$
        przecinają się w jednym punkcie.
\end{enumerate}
\footnotesize{Zadania pochodzą ze Staszica, MIMUWu oraz z rosyjskich olimpiad dla
gimnazjalistów}
 
\end{document}
 
 
 
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
%        File: elem_rozw.tex
%     Created: nie sty 10 07:00  2010 C
% Last Change: nie sty 10 07:00  2010 C
%
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\mb#1{\mathbb{#1}}
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\title{Elementarne rozwiązanie zadania o 30-kącie}
\date{}
\author{Joachim Jelisiejew}
\maketitle
 
\paragraph{Zadanie}
Udowodnić, że w 30-kącie foremnym przekątne $A_1A_{19}, A_3A_{24} \hbox{ oraz
} A_8A_{28}$ przecinają się w jednym punkcie.
 
\paragraph{Rozwiązanie}
\begin{enumerate}
    \item Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na 30-kącie oraz niech
        $P$ będzie przecięciem $O A_{30}$ z $A_{8}A_{28}$. Udowodnię, że $P$
        jest szukanym punktem.
    \item \begin{lem}
            Punkty $O$ i $A_3$ są symetryczne względem prostej $A_{8} A_{28}$.
        \end{lem}
        Dowód:\\
        $\angle  A_{3}O A_{28} = 10\cdot 6\deg = 60\deg$. Trójkąt $
        A_{3}O A_{28}$ jest więc równoboczny, analogicznie $ A_{3}O
        A_{8}$ jest równoboczny, a z tego wynika teza.
    \item Udowodnię, że $ A_{3} A_{24}$ przechodzi przez $P$. Zauważmy, że z
        lematu wynika, że $\angle O A_{3}P = \angle A_3OP = \angle A_3O
        A_{30} = 6\cdot 6\deg$. Ponieważ zachodzi również $\angle O A_{3} A_{24} = 6 \cdot
        6\deg$ oraz punkty $P,  A_{24}$ leżą z tej samej strony $OA_3$, to
        dowód jest zakończony.
    \item Pozostaje udowodnić, że $ A_{1} A_{18}$ przechodzi przez $P$.
    \item Udowodnię pomocniczo, że $|A_{1}P| = | A_{1} A_{3}|$.\\
        Zauważmy, że obrót o $6\cdot 6\deg$ przenosi $O A_{3}$ na $O
        A_{6}$, zaś $ A_{28}$ na $ A_{1}$, więc z lematu wynika
        $$| A_{1}O| = | A_{1} A_{6}|$$
        Zauważmy, że $O A_{6} || A_3A_{24} = A_3P$ oraz $\angle O A_{6}A_3 = \angle
        A_{6}OP = 12\cdot 6\deg$, więc czworokąt $PO A_{6} A_{3}$ jest
        trapezem równoramiennym, punkt $A_1$ leży na symetralnej jednej jego
        podstawy, a więc leży także na symetralnej drugiej podstawy.
    \item Skoro $|A_{1}P| = | A_{1} A_{3}|$ to
        $$\angle A_3A_1P = 180\deg - 2\angle PA_3A_1 = 180\deg - 14\cdot 6\deg
        = 16\cdot 6\deg = \angle A_3A_1A_{18}$$
        tak więc punkty $A_1, P, A_{18}$ leżą na jednej prostej, co kończy
        dowód.
\end{enumerate}
 
\end{document}