Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zadania.tex
%     Created: wto gru 22 02:00  2009 C
% Last Change: wto gru 22 02:00  2009 C
%
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\mb#1{\mathbb{#1}}
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
 
\include{style}
 
\begin{document}
\section{Jensen}
 
\begin{enumerate}
    \item Liczby dodatnie $x,y,z$ spełniają $x+y+z=3$. Wykazać, że
        $$\frac{3x+2}{x+1} + \frac{3y+2}{y+1} + \frac{3z+2}{z+1} \leq
        \frac{15}{2}$$
    \item Pokazać, że dla dowolnych $a,b,c,d\in \mathbb{R}_+$ zachodzi
        $$\frac{a}{\sqrt[3]{a^3 + 63bcd}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b^3 +
        63acd}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c^3 + 63abd}}+\frac{d}{\sqrt[3]{d^3 +
        63abc}} \geq 1$$
    \item Pokazać, że dla $x,y,z\in \mathbb{R}_+$ zachodzi
        $$x\sqrt{y+z} + y\sqrt{x+z} + z\sqrt{x+y} \leq
        \sqrt{2(x+y+z)(xy+yz+zx)}$$
    \item Liczby dodatnie $a,b,c$ sumują się do $1$. Udowodnić, że
        $$\sqrt{(b+c)(2a+b+c)} + \sqrt{(a+c)(a+2b+c)} +
        \sqrt{(a+b)(a+b+2c)}\leq 2\sqrt{2}$$
    \item Udowodnić, że dla liczb dodatnich $x,y,z$ zachodzi
        $$3\left( \frac{x+y+z}{3} \right)^{3/2} \leq x^{3/2} + y^{3/2} +
        z^{3/2} \leq \sqrt{(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2)}$$
 
\end{enumerate}
\footnotesize{Zadania pochodzą ze Staszica, logo ze strony MIMUW}
 
\end{document}