Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zadania.tex
%     Created: wto gru 08 10:00  2009 C
% Last Change: wto gru 08 10:00  2009 C
%
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\mb#1{\mathbb{#1}}
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\include{style}
 
\begin{document}
\section{Estońska OM}
 
\paragraph{Łatwiejsze}
\begin{enumerate}
    \item Jogi, zdenerwowany niską frekwencją oddawania prac domowych,
        wymyślił sadystyczne zadanie:\\
        Wybrać zbiór $A$ dzielników
        $2009^{2009^{2009}}$, taki, że jeżeli $a,b\in A$ i $a\neq b$ to $a\not | b$.\\
        Ile maksymalnie elementów może mieć zbiór $A$?
    \item Dany jest trójkąt $ABC$. Wysokość opuszczona z wierzchołka $A$ na
        $BC$ jest styczna do okręgu opisanego na $ABC$. Udowodnić, że miara
        pewnego kąta trójkąta $ABC$ leży w przedziale $(90\deg, 135\deg)$.
    \item Dany jest trójkąt $ABC$. Wysokości opuszczone z wierzchołka $A$ na
        $BC$ i z wierzchołka $B$ na $AC$ są styczne do okręgu opisanego na $ABC$. 
        Znaleźć miary kątów $\triangle ABC$.
    \item Punkty $E,D$ leżą odpowiednio na bokach $AC, BC$ trójkąta $ABC$,
        przy czym zachodzi $2|CE| = |AE|$ oraz $2|CD| = |BD|$. Na zewnątrz
        trójkąta $ABC$ wybieramy na półprostych $AD$, $BE$ punkty $K, L$ tak,
        że $2|KD| = |AD|$ i $2|LE| = |BE|$. Udowodnić, że $ABKL$ jest
        równoległobokiem.
\end{enumerate}
\paragraph{``Nietrudniejsze''}
\begin{enumerate}
    \item Dany jest trójkąt $ABC$. Prosta $y$ przechodzi przez $B$ i jest
        prostopadła do $AB$, prosta $z$ przechodzi przez $C$ i jest
        prostopadła do $AC$, prosta $x$ jest wysokością opuszczoną z $A$ w
        trójkącie $ABC$. Udowodnić, że $x,y,z$ mają wspólny punkt wtedy i
        tylko wtedy, gdy $|AB| = |AC|$.
    \item Znajdź wszystkie liczby całkowite dodatnie $n$, takie, że istnieje
        dokładnie $2n$ par liczb całkowitych $(a,b)$ takich, że $1\leq a<b\leq
        n$ oraz $a|b$.
    \item Łysy i Staniek grają w grę na planszy w kształcie 
        prostokąta o wymiarach $2\times n$,
        którego boki o długości $2$ są sklejone, tak że prostokąt tworzy
        powierzchnię boczną walca. Gracze wykonują ruchy na przemian, wycinając
        jednostkowy kwadracik z planszy. Gracz przegrywa, jeżeli po jego ruchu
        plansza traci kołową spójność, tj. można ja rozłożyć na płaszczyźnie.
        Jednostkowe kwadraty, które mają jedynie narożnik wspólny są uważane
        za niepołączone. Załóżmy, że Łysy zaczyna. Który z graczy ma strategię
        wygrywającą?
\end{enumerate}
        {\footnotesize Zadania pochodzą z Estońskiej Olimpiady Matematycznej}
 
\end{document}