Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
 
\begin{document}
 
\section{Równania funkcyjne}
\begin{enumerate}
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ spełniające
$$f(x+y) = f(x^2) + f(y^2)$$
\source{Warsztaty ILO 2005}
 
\item Funkcja $f$, określona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $0$, przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste różne od $1$. Ponadto
$$f(xy) = f(x)f(-y) - f(x) + f(y)$$
dla dowolnych $x,y\neq 0$, oraz
$$f(f(x)) = \frac{1}{f(\frac{1}{x})}$$
dla każdego $x\notin \{0,1\}$. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$.
\source{Baltic Way 2007}
 
\item Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$, określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmujące wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi równość
$$f(f(x) - y) = f(x) + f(f(y) - f(-x)) + x$$
\source{LIX OM, etap 2.}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ takie, że
$$x^2f(x) + f(1-x) = 2x - x^4$$
dla wszystkich $x\in \mathbb{R}$.
\source{Excalibur}
 
\item Znajdź wszystkie funkcje $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ spełniające równanie
$$f(x+y) = f(x) + f(y)$$
dla wszystkich $x,y\in \mathbb{Q}$.
\source{Excalibur}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ spełniające równanie
$$f(x - f(y)) = 1 - x - y$$
\source{V LO w Krakowie}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ różnowartościowe oraz spełniające równanie
$$f(f(x) + y) = f(x + y) + 1$$
\source{V LO w Krakowie}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ spełniające równanie
$$f(x+y) - f(x-y) = 4xy$$
\source{własne}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ spełniające równanie
$$(x-y)f(x+y) + (x+y)f(x-y) = 4xy(x^2 - y^2)$$
\source{V LO w Krakowie}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\backslash\{0,1\}\rightarrow \mathbb{R}$ spełniające dla $x\in \mathbb{R}\backslash\{0,1\}$ zależność
$$f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x$$
\source{Koło PTM}
 
\end{enumerate}
 
\end{document}