Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
 
\begin{document}
 
\section{PROserwy - dzień piąty}
 
\begin{enumerate}
 
\item \level{1} Dane są liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ takie, że $a_i\in \{1,-1\}$ dla $i=1,2,\dots,n$. Ponadto wiemy, że
$$a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_{n-1}a_n + a_na_1 = 0$$
Udowodnić, że $n$ jest podzielne przez $4$.
\source{Koło PTM}
 
\item \level{1} Niech $O_1,O_2$ będą okręgami przecinającymi się w dwóch różnych punktach $M,N$. Niech styczne do okręgów $O_1,O_2$ w $M$ przecinają $O_2$ w $B$, $O_1$ w $A$ odpowiednio. Niech $AN$ przecina $O_2$ w $C$, zaś $BN$ przecina $O_1$ w $D$. Udowodnić, że
$$|AC| = |BD|$$
\source{Mathlinks}
%katy
 
\item \level{2} Danych mamy ciąg $101$ liczb rzeczywistych. Udowodnić, że można z niego wyjąć $11$-wyrazowy podciąg niemalejący, lub $11$-wyrazowy podciąg nierosnący.
\source{olimpiada radziecka}
 
\end{enumerate}
 
\end{document}