Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
 
\begin{document}
 
\section{PROSERWY - mecz matematyczny}
\begin{enumerate}
 
\item \level{2-3} Liczby dodatnie $a,b,c$ spełniają $abc=1$. Udowodnij, że
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq a + b + c$$
\source{?}
%podstawienie a=x/y
 
\item \level{2-3} Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \leq \frac{3}{2}\frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab+bc+ca}$$
\source{Mathlinks}
%dodawanie 1 do stron
 
 
%\item \level{2} Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$, w którym $AB$ jest krótsze od pozostałych boków. Punkt $D$ leży na boku $AC$ i spełnia $|DA| = |AB|$. Punkt $F$ jest taki, że $ADFB$ jest rombem, zaś $K$ oznacza punkt przecięcia $DF$ z $BC$. Obliczyć $\displaystyle{\frac{CK}{BK}}$.
 
\item \level{3} W kąt o wierzchołku $X$ wpisano okręgi $o_1,o_2$.  Okrąg $s$ jest styczny zewnętrznie do $o_1$ w $A$ i do $o_2$ w $B$. Udowodnić, że punkty $A,B,X$ są współliniowe. Czy założenie, że $s$ jest styczny \emph{zewnętrznie} jest potrzebne?\source{Staszic}
%jednokladnosc
 
\item \level{2} Okrąg o środku w $O$ został podzielony przez $n>2$ średnic na $2n$ przystających fragmentów. Pokazać, że rzuty dowolnego punktu $M\neq O$ należącego do wnętrza okręgu na te średnice są wierzchołkami $n$ kąta foremnego.\source{Staszic}
 
\item \level{2} Każdy punkt płaszczyzny jest pokolorowany jednym z dwóch kolorów. Udowodnić, że istnieje trójkąt równoboczny, którego wierzchołki są jednego koloru.
\source{Mathlinks}
%palowanie
 
 
\item \level{1} $2009$ uczestników obozu naukowego stoi w serwerowni. Odległości pomiędzy każdymi dwoma z nich są różne. Każdy z nich ma jedną piłkę. Jednocześnie rzucają oni piłki, każdy najbliżej stojącemu uczestnikowi. Udowodnić, że żaden uczestnik nie dostanie więcej niż $5$ piłek.
\source{Mathlinks}
 
\item \level{2} Mamy daną tablicę $n\times n$, której każde pole jest pokolorowane. Wiadomo, że żadne dwa rzędy nie są pokolorowane jednakowo. Udowodnić, że można wykreślić pewną kolumnę tak, że nadal żadne dwa rzędy nie będą pokolorowane jednakowo.
\source{Mathlinks}
 
 
\item \level{1} Niech $M$ będzie liczbą całkowitą parzystą, $a_0,a_1,a_2,\dots,a_{M-1}$ będą liczbami całkowitymi dającymi parami różne reszty z dzielenia przez $M$, a $c_i = a_i + i$ dla $i=0,1,2,\dots,M-1$. Udowodnij, że istnieją takie $i\neq j$ całkowite, że $c_i \equiv c_j \mod M$.
\source{Mathlinks}
 
\item \level{2} Wielomian $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$ jest taki, że $a_i\in \{-1,1\}$. Udowodnić, że nie ma on pierwiatków zawartych w $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
\source{known}
 
\item \level{2} Niech $p$ będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Niech
$$\frac{k}{l} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{p-1}$$
gdzie $k,l$ są całkowite. Udowodnić, że $p|k$.
\source{known}
 
 
\end{enumerate}
\end{document}