Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{Przygotowanie do OMa 3.}
\date{}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Niech $ABCD$ będzie czworokątem wypukłym takim, że okręgi wpisane w trójkąty $ABC$ i $ADC$ mają punkt wspólny. Udowodnić, że w $ABCD$ można wpisać okrąg.
\item Udowodnić, że jeśli $p$ jest nieparzystą liczbą pierwszą, $m,n\in\mathbb{Z}_+$ i  $\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}$, to $p|m$. Wskazówka na dole.
\item Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny. Na jego bokach, po zewnętrznej stronie dobudowano trójkąty równoboczne $BCD$, $CAE$, $ABF$. Udowodnić, że proste $AD$, $BE$, $CF$ przecinają się w jednym punkcie.
\item Rozstrzygnąć, czy istnieją 2 takie różne liczby $2^k$, $2^l$ ($k,l\in\mathbb{Z}_+$), że mają one tyle samo cyfr oraz jedna powstaje z drugiej przez permutowanie cyfr.
\item Powodzenia!
\end{enumerate}
\pagebreak
\textbf{Wskazówki}\\
Wskazówka do 1.: Dirichlet.\\
Wskazówka do 2.: Kiedy w czworokąt można wpisać okrąg?\\
Wskazówka do 3.: Co jeszcze przechodzi przez ten punkt?\\
Wskazówka do 4.: Co się nie zmienia przy permutowaniu?
\end{document}
 
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{Przygotowanie do OMa 3.}
\date{}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Niech $ABCD$ będzie czworokątem wypukłym takim, że okręgi wpisane w trójkąty $ABC$ i $ADC$ mają punkt wspólny. Udowodnić, że w $ABCD$ można wpisać okrąg.\\
\textbf{Rozwiązanie}:\\
W czworokąt $ABCD$ można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy \[|AB|+|CD|=|AD|+|BC|\]
Oznaczmy punkty styczności okręgu wpisanego w $ABC$ do $AB,BC,CA$ jako $E,F,X$ odpowiednio. Oznaczmy punkty styczności okręgu wpisanego w $ADC$ do $CD, AD, DC$ jako $G,H,Y$ odpowiednio. Wtedy $|AB|=|AE|+|BF|$, $|BC|=|BF|+|CF|$, $|CD|=|CG|+|GD|$, $|AD|=|DH|+|HA|$.\\
Ponadto z równości stycznych jest $|AE|=|AX|$, $|BE|=|BF|$, $|CF|=|CX|$, $|CG|=|CY|$, $|DG|=|DH|$, $|AH|=|AY|$. Mamy więc:
\[|AB|+|CD|=|AD|+|BC| \Leftrightarrow |AX|+|CY|=|AY|+|CX| \Leftrightarrow 2|AB|=2|AY|+2|CX|\]
Mamy $|AY|+|CX|=|AB|\Leftrightarrow X=Y$, co kończy ten nudny dowód.
 
\item Udowodnić, że jeśli $p$ jest nieparzystą liczbą pierwszą, $m,n\in\mathbb{Z}_+$ i  $\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}$, to $p|m$.\\
\textbf{Rozwiązanie}:\\
Zauważmy, że wystarczy rozważać sytuację, gdy $\frac{m}{n}$ jest zredukowany, czyli gdy $NWD(m,n)$ - wszystkie inne możliwe do otrzymania po lewej stronie ułamki można otrzymać przez przemnożenie licznika i mianownika przez liczbę, co nie zmienia tezy.\\
Wymnóżmy obie strony równania przez $(p-1)!$. Po lewej stronie otrzymamy $m\frac{(p-1)!}{n}$, gdzie  $n|(p-1)!$ (bo ułamek zredukowany), czyli $\frac{(p-1)!}{n}\in\mathbb{Z}$. Po prawej stronie otrzymamy liczbę $\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+\cdots+\frac{(p-1)!}{p-1}$. Zauważmy, że liczby $\frac{(p-1)!}{k},\frac{(p-1)!}{l}$ dają różne reszty z dzielenia przez $p$, gdy $0<k<l<p-1$. Gdyby bowiem było $\frac{(p-1)!}{k}\equiv \frac{(p-1)!}{l} (\mod p)$, to $(p-1)!(l-k)\equiv 0 (\mod p)$, czyli $p|k-l$ - sprzeczność.\\
Ponadto żadna z liczb $\frac{(p-1)!}{k}$ nie daje reszty $0$ z dzielenia przez $p$. Skoro tych liczb $p-1$, to muszą one dawać wszystkie możliwe niezerowe reszty z dzielenia przez $p$, stąd prawa strona daje resztę $1+2+\cdots+p-1=\frac{p(p-1)}{2}$, czyli ($p$ - nieparzyste) resztę $0$. Lewa strona musi więc także dać tę resztę, więc $p|m\frac{(p-1)!}{n}$, czyli $p|m$.
 
\item Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny. Na jego bokach, po zewnętrznej stronie dobudowano trójkąty równoboczne $BCD$, $CAE$, $ABF$. Udowodnić, że proste $AD$, $BE$, $CF$ przecinają się w jednym punkcie.\\
\textbf{Rozwiązanie}:\\
Kluczowe jest spostrzeżenie (rysunkowe), że przez punkt przecięcia tych prostych przechodzą też okręgi opisane na równobocznych trójkątach $BCD$, $CAE$, $ABF$.\\
%Najpierw rozważmy (co nam się później przyda) przypadek, gdy któryś z kątów $ABC$ jest równy $120^{\circ}$. Niech bez straty ogólności $ACB=102^{\circ}$. Wtedy $E$ leży na $BC$ i $D$ leży na $AC$, więc proste $AD,BE,CF$ przecinają się $C$.\\
Teraz to już tylko kwestia odpowiedniego zdefiniowania punktu przecięcia.\\
Wiemy, że żaden z kątów $ABC$ nie jest równy $120^{\circ}$. Wtedy żadne 2 okręgi opisane na $BCD$, $CAE$, $ABF$ nie są styczne (sprawdź!). Weźmy $P$ - drugi (nie $B$) punkt przecięcia okręgów opisanych na $ABF$ i $BCD$. Wtedy mamy $\angle APB=120^{\circ}$ i $\angle BPC=120^{\circ}$, stąd $\angle APC=360^{\circ}-\angle APB-\angle BPC=120^{\circ}$, stąd $\angle APC + \angle ADC=180^{\circ}$, więc $P$ leży na okręgu opisanym na $ACD$.\\
Weźmy prostą $AD$. Mamy $\angle APB=120^{\circ}$ i $\angle BPD=60^{\circ}$ (kąty wpisane), więc $\angle APD=180^{\circ}$, stąd $P$ leży na $AD$. Analogicznie $P$ leży na $BE$ i $CF$. $P$ nazywamy punktem Toriciellego. W rzeczywistości teza zachodzi dla dowolnych trójkątów.\\
%\textbf{Inny sposób}:\\
%Rozważmy złożenie obrotów o $60^{\circ}$ wokół $E$, $D$, $F$, kolejno, przeciwnie do wskazówek zegara: $O_X^{\alpha}=O_F^{60^{\circ}}\circ O_D^{60^{\circ}} \circ O_E^{60^{\circ}}$. Obrót ten jest (z tw. o składaniu obrotów) obrotem wokół pewnego punktu o $180^{\circ}$, czyli $\alpha = 180^{\circ}$. Jednocześnie, co można przeliczyć z definicji $O_X^{180^{\circ}}(A)=A$, więc musi być $X=A$ (obrót nie ma punktów stałych oprócz środka).
\item Rozstrzygnąć, czy istnieją 2 takie różne liczby $2^k$, $2^l$ ($k,l\in\mathbb{Z}_+$), że mają one tyle samo cyfr oraz jedna powstaje z drugiej przez permutowanie cyfr.\\
\textbf{Rozwiązanie}:\\
Załóżmy, że $k > l$. Wtedy $2^k > 2^l$. Z drugiej strony te liczby mają tyle samo cyfr, więc musi być $2^k < 10\cdot 2^l$, czyli musi być $k=l+1$ albo $k=l+2$ albo $k=l+3$.\\
Co się nie zmienia przy zamianie cyfr? Reszty z 9 oczywiście.\\
Popatrzmy na reszty z dzielenia przez $9$ liczb postaci $2^k$. Mamy
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|r|}
\hline
  $k$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$\\
\hline
  $2^k \mod 9$ & $1$ & $2$ & $4$ & $8$ & $7$ & $5$ & $1$\\
\hline
\end{tabular}
Stąd wnosimy, że nie ma liczb postaci $2^k$ i $2^l$, takich, że $l<k<l+4$ i $2^k\equiv 2^l(\mod 9)$ (bo reszty są różne dla 6 kolejnych liczb).
\end{enumerate}
\end{document}