Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\Vrule{\smash{\vrule height7pt depth\baselineskip}}
\def\Varule{\smash{\vrule height7pt depth3pt}}
\def\Hrule #1{\Squeeze\multispan#1\hrulefill}
\def\CompressMatrices{\ifmmode \def\quad{\hskip.5em\relax}\fi}
\def\Squeeze{\noalign{\vskip-.5\baselineskip}}
\def\rk{\operatorname {rank}}
\def\lin{\operatorname {lin}}
\def\dim{\operatorname{dim}}
\def\ker{\operatorname{ker}}
\def\det{\operatorname{det}}
\def\im{\operatorname{im}}
\def\id{\operatorname{id}}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\diag{\operatorname{diag}}
\def\spec{\operatorname{spec}}
\def\Abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\def\Norm #1{\left\Vert #1\right\Vert}
\def\cc #1{\overline{#1}}
\def\ip#1#2{\langle #1,#2 \rangle}
\def\bf#1{\textbf{#1}}
\def\mattwo#1#2#3#4{\left[\begin{array}{c c}#1 & #2\\ #3 & #4\\\end{array}\right]}
\def\mattree#1#2#3#4#5#6#7#8#9{\left[\begin{array}{c c c}#1 & #2 & #3\\ #4 & #5 & #6\\ #7 & #8 & #9\\\end{array}\right]}
 
\begin{document}
\def\rozw{\\ \textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\title{Kółko 23.04 - Trochę zespolonych}
\date{}
\maketitle
\paragraph{Ściągawka z teorii}
\begin{enumerate}
\item \emph{Liczba zespolona} to liczba postaci
$$z = a + b\i$$
gdzie $a,b$ rzeczywiste, a $\i$ to jednostka urojona, spełniająca $\i^2 = -1$. Liczbę $a$ nazywamy \emph{częścią rzeczywistą} $z$ i oznaczamy $\Re z$, liczbę $b$ nazywamy \emph{częścią urojoną} $z$ i oznaczamy $\Im z$ (oznaczenia od ang. Real and Imaginary).
\item Mówimy, że liczba zespolona jest \emph{rzeczywista}, jeżeli $b=0$ a \emph{czysta}, albo \emph{urojona}, jeśli $a=0$.
\item Liczby zespolone możemy określić działania:
$$(a+b\i) + (c+d\i) = (a+c)+(b+d)\i$$
$$-(a+b\i) = -a - b\i$$
$$(a+b\i)(c+d\i) = ac+ad\i +bc\i+ bd\i^2 = (ac-bd) + (ad+bc)\i$$
$$1/{a+b\i} = \frac{a-b\i}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 +  b^2} -\frac{b}{a^2 + b^2}\i$$
Mnożenie jest przemienne i w ogóle wszystko jest normalne :P
\item Dla $z = a + b\i$ liczbę 
$$a - b\i$$
 nazywamy \emph{sprzężeniem} $z$ i oznaczamy $\cc{z}$. Jest
$$\cc{a\pm b} = \cc{a} \pm \cc{b},\ \ \ \cc{ab}=\cc{a}\cc{b},\ \ \  \cc{1/a} = 1/\cc{a}$$
\item Liczbę rzeczywistą (!) $\sqrt{a^2 + b^2}$ nazywamy \emph{modułem} liczby $z$ i oznaczamy $|z|$ (jest to odpowiednik wartości bezwzględnej), liczba $\cc{z}$ ma taki sam moduł: $a^2 +b^2 = a^2 + (-b)^2$. Ponadto zachodzi
$$z\cc{z} = |z|^2$$
\item Oczywiście $a+b\i = c+d\i$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a=c$ i $b=d$.
\item (Interpretacja geometryczna) Liczbę zespoloną $a+b\i$ możemy utożsamiać z punktem płaszczyzny $(a,b)$, łatwo wtedy widać, że $|z|$ jest odległością od $0$ tej liczby. Niech $\alpha$ będzie kątem pomiędzy osią $OX$ o prostą przechodzącą przez $(0,0)$ i $(x,y)$. Wtedy
$$z = |z|(\cos \alpha + \i\sin\alpha)$$
\end{enumerate}
 
 
\paragraph{Zespolone w geometrii}
\begin{enumerate}
\item Udowodnij, że $|z|=0 \Leftrightarrow z=0$.
\item Znaleźć wszystkie liczby zespolone $z$ takie, że $z=\cc{z}$ i wszystkie takie, że $z=-\cc{z}$.
\item Stwierdzić, jaką figurę opisuje równanie $|z-r| = s$, dla $r,s$ ustalonych, $s$ rzeczywistego dodatniego.
\item Zinterpretować pomnożenie 2 liczb o module $1$ wykorzystując interpretację geometryczną liczb zespolonych.
\item * Udowodnić, że gdy różne liczby zespolone $u,v,w,z$ potraktować jako punkty płaszczyzny, to odcinki $u,v$ i $w,z$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy
$$(u-v):(w-z) \hbox{ jest rzeczywiste }$$
a prostopadłe wtedy  tylko wtedy, gdy
$$(u-v):(w-z) \hbox{ jest urojone }$$
\item Stosując poprzednie zadanie wywieść warunki na to, że różne liczby $u,v,w$ są współliniowe (jako punkty płaszczyzny).
\item Rozłóż wielomian z poprzedniego koła ($x^4 + 1$) na czynniki stopnia $1$, a następnie na czynniki rzeczywiste stopnia $2$.
\end{enumerate}
 
\end{document}