Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\def\rozw{\\ \textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\title{Kółko 16.04 - różne prostsze zadanka}
\date{}
\maketitle
\paragraph{Proste wielomiany}
\begin{enumerate}
\item Wykazać, że równanie 
$$17x^2 + 95xy + 2000 y^2 - 2005 = 0$$
nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych $x,y$.
\item Wykazać, że jeżeli dla niezerowych liczb rzeczywistych $a,b,c,x,y,z$ zachodzi
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \hbox{ i } \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$$
to $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$
\item Czy wielomian $x^4+1$ da się rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego? A stopnia 2?
\item Wielomian o współczynnikach rzeczywistych 
$$x^n + a_{n-3}x^{n-3}+\cdots+a_0$$ ma $n$ pierwiastków rzeczywistych. Oblicz jego współczynniki.
\footnotesize{źródło: któryś prastary OM}
\normalsize
\item * Dane są takie niezerowe liczby całkowite $a,b,c$, że $a+b+c=0$. Wykazać, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n$ prawdziwa jest podzielność
$$a^2 + b^2 + c^2 | a^{n^2 + 1} + b^{n^2 + 1} + c^{n^2 + 1}$$
\footnotesize{źródło: Zwardoń 2007}
\end{enumerate}
\paragraph{Różne}
\begin{enumerate}
\item Udowodnij, że liczby $1,2,\cdots,n^2$ można rozbić na $n$ podzbiorów o równych sumach.
\item \emph{przypomnienie} Jeżeli $a,b,c$ - całkowite dodatnie i $a^2 + b^2 = c^2$, to wśród liczb $a,b,c$ istnieje co najmniej jedna podzielna przez $3$, co najmniej jedna podzielna przez $4$ i co najmniej jedna podzielna przez $5$.
\item * Niech liczby $a,b,c$ będą całkowite dodatnie, względnie pierwsze, czyli $NWD(a,b,c)=1$ i spełniają równanie Pitagorasa: $$a^2 + b^2 = c^2$$
Udowodnić, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $m,n$, że
$$a = m^2 - n^2,\ b = 2mn,\ c = m^2 + n^2 \hbox{ lub } a = 2mn,\ b = m^2 - n^2,\ c = m^2 + n^2$$
\end{enumerate}
\end{document}