Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\def\rozw{\\ \textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\title{Kółko $2.2^2$ - nieróżności i różności}
\date{}
\maketitle
\paragraph{Nieróżności}
\begin{enumerate}
\item Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a_1,a_2,\cdots,a_n$ zachodzi nierówność
$$a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3 \geq a_1^2a_2+a_2^2a_3+\cdots + a_{n-1}^2a_n + a_n^2a_1$$
\item Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność
$$a^3b+b^3c+c^3a \geq abc(a+b+c)=a^2bc+b^2ca+c^2ab$$
\item Suma nieujemnych liczb rzeczywistych $a,b,c$ jest niewiększa od $3$. Pokazać, że zachodzi nierówność
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \geq \frac{3}{2}$$
\footnotesize{źródło: staszic}
\normalsize
\item Udowodnić, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność
$$\frac{a\sqrt{a}}{b+c}+\frac{b\sqrt{b}}{a+c}+\frac{c\sqrt{c}}{a+b} \geq \frac{a\sqrt{a}}{a+b}+\frac{b\sqrt{b}}{b+c}+\frac{c\sqrt{c}}{c+a}$$
\item Udowodnić, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność
$$\frac{a\sqrt{a}}{b+c}+\frac{b\sqrt{b}}{a+c}+\frac{c\sqrt{c}}{a+b} \geq \frac{a\sqrt{b}}{a+b}+\frac{b\sqrt{c}}{b+c}+\frac{c\sqrt{a}}{c+a}$$
\item * Znajdź przykłady liczb i ciągów dodatnich, dla których poniższe nierówności nie są prawdziwe, lub udowodnij ich prawdziwość:
    \begin{enumerate}
         \item $\displaystyle{a^4b+b^4c+c^4d+d^4a \geq a^3bc+b^3cd+c^3da+d^3ab}$
         \item $\displaystyle{a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+\cdots+a_nb_nc_n \geq a_nb_1c_1+a_{n-1}b_2c_2\cdots+a_1b_nc_n}$ jeżeli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są niemalejące, a $(c_n)$ jest nierosnący.
         \item $\displaystyle{a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+\cdots+a_nb_nc_n \leq a_nb_1c_1+a_{n-1}b_2c_2\cdots+a_1b_nc_n}$ jeżeli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są niemalejące, a $(c_n)$ jest nierosnący.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\paragraph{Różności}
\begin{enumerate}
\item Na tablicy $2n\times 2n$ zamalowano $3n$ pól. Udowodnij, że można tak dobrać $n$ kolumn i $n$ wierszy tej tablicy, żeby każde zamalowane pole leżało w pewnej wybranej kolumnie lub w pewnym wybranym wierszu.(\footnotesize{źródło: staszic})
\normalsize
\item Mamy daną płaszczyznę, podzieloną liniami poziomymi i pionowymi na kwadraty $1\times 1$. W każdy kwadrat wpisujemy liczbę naturalną, przy czym żadna liczba nie jest wpisana więcej niż raz. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$, że mozna wskazać dwa sąsiednie pola, takie, że różnica liczb wpisanych w te pola jest większa od $n$. (\footnotesize źródło: zadania przygotowawcze do Podlaskiego Konkursu Matematycznego)
\normalsize
\item $P$ jest takim wielomianem o współczynnikach całkowitych, że zarówno równanie $P(x)=1$ jak i $P(x)=3$ ma co najmniej jedno rozwiązanie całkowite. Rozstrzynij, czy równanie $P(x)=2$ może mieć 2 różne rozwiązania całkowite.
(\footnotesize{źródło: staszic})
\normalsize
\item Niech $a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}$. Udowodnić, że $a_n\geq \frac{1}{2}$ :)
\end{enumerate}
\end{document}