Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{Kółko 12.1 - potęga teorii potęgi punktu}
\date{}
\maketitle
\paragraph{Teoria}
\begin{enumerate}
\item \begin{defn}Niech będzie dany okrąg $o$ i punkt $A$. Niech prosta $k$ przechodzi przez punkt $A$ i przecina okrąg $o$ w punktach $B$ i $C$. Wtedy \textbf{potęgą punktu A} względem okręgu $o$ nazywamy iloczyn $AB\cdot AC$, jeżeli punkt $A$ leży na zewnątrz okręgu i $-AB\cdot AC$, jeżeli leży on wewnątrz. Iloczyn ten jest niezależny od wyboru prostej $k$!\end{defn}
\item Jeżeli $A$ leży na zewnątrz okręgu $o$, potęga punktu $A$ względem $o$ jest równa $|AD|^2$, gdzie $AD$ to styczna do okręgu $o$, przechodząca przez $A$. Potęga ta jest więc też równa wtedy $|AO|^2-r^2$. Ogólniej potęga $A$ względem $o$ jest \textbf{zawsze} równa $|AO|^2 - r^2$. Zauważmy, że punkty leżące na okręgu mają potęgę równą $0$.
\item Przyda się też poczciwy Pitagoras :]
\item Punkty $A,B,C$ leżą na prostej $k$ w tej kolejności, a punkty $A,D,E$ leżą na prostej $l$ w tej kolejności ($k\neq l$). Jest $AB\cdot AC=AD\cdot AE$, wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $B,C,D,E$ leżą na jednym okręgu.
\end{enumerate}
\paragraph{Zadania łatwiejsze}
\begin{enumerate}
\item Udowodnij, że dla danego okręgu $o$ wszystkie punkty mające potęgę względem $o$ równą $p$ ($p$ -stała) leżą na jednym okręgu o środku w $o$.
\item Udowodnij, że dla punktu $A$ leżącego wewnątrz okręgu $o$ definicja potęgi jest prawidłowa (tj. faktycznie iloczyn nie zależy od prostej).
\item Udowodnij to samo dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu.
\item Punkty $E, F$ leżą na bokach $AC, AB$ trójkąta $ABC$ odpowiednio. Odcinki $BE$ i $CF$ przecinają się w $M$ i zachodzi $MB\cdot ME=MC\cdot MF$. Udowodnij, że zachodzi $AE\cdot AC=AF\cdot AB$. (źródło - staszic)
\item Okrąg $o$ jest styczny do prostej $k$ w punkcie $D$. Cięciwa $AB$ tego okręgu jest równoległa do $k$, punkt $C$ leży na $k$, odcinki $AC$ i $BC$ przecinają okrąg $o$ w punktach $E$ i $F$ (różnych od $A,B$) odpowiednio. Udowodnić, że prosta $EF$ przecina $k$ w środku odcinka $CD$. (źródło - staszic)
\item Sześciokąt wypukły $ABCDEF$ spełnia warunki $AB=BC$, $CD=DE$, $EF=FA$.
    Udowodnij, że wysokości trójkątów $BCD$, $DEF$, $FAB$, opuszczone z wierzchołków $C$, $E$, $A$ przecinają się w jednym punkcie. (źródło - staszic)
\end{enumerate}
\paragraph{Zadania trudniejsze}
\begin{enumerate}
\item \begin{defn}Dane są 2 okręgi o różnych środkach. Osią potęgową dwóch okręgów $o_1,o_2$ nazywamy zbiór punktów mających równe potęgi względem $o_1$ i $o_2$\end{defn} Udowodnij, że ten zbiór jest prostą prostopadłą do prostej łączącej środki tych okręgów. Wskazówka: spróbuj zrzutować dowolny punkt na prostą i trochę podanalizować.
\item Dane są okręgi $o_1,o_2,o_3$, takie, że $o_1\cap o_2=\{A,B\}$, $o_2\cap o_3=\{C,D\}$, $o_3\cap o_1=\{E,F\}$, to proste $AB, CD, EF$ albo są wszystkie równoległe, albo przecinają się w jednym punkcie.
\end{enumerate}
\end{document}