Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
 
\usepackage{amssymb}
 
\usepackage{amsmath}
 
\textwidth 16cm
 
\textheight 24cm
 
\oddsidemargin 0cm
 
\topmargin 0pt
 
\headheight 0pt
 
\headsep 0pt
 
\usepackage[polish]{babel}
 
\usepackage[utf8]{inputenc}
 
\usepackage[T1]{fontenc}
 
 
%\usepackage{MnSymbol}
 
 
% ----------------------------------------------------------------
 
 
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
 
 
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
 
 
% THEOREMS -------------------------------------------------------
 
 
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
 
 
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
 
 
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
 
 
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
 
 
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
 
 
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
 
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
 
\begin{document}
 
 
\title{Kółko 6.1 - teoria liczb}
 
 
\date{}
 
 
\maketitle
 
\paragraph{\textbf{Zadania, nieco łatwiejsze na rozruszanie.}}
 
\begin{enumerate}
 
\item Rozstrzygnij, czy $n!\leq (\frac{n+1}{2})^n$.
 
\item Oszacuj z góry $d(n)$, w zależności od $n$ i wywnioskuj z tego oszacowania, że ciąg dany wzorem $a_0=a$, $a_{n+1}=d(a_n) + b$ zapętla się dla dowolnych $a, b\in\mathbb{Z}_+$.
\item Udowodnij, że jeśli $n\geq3$, to $(n+1)^n < n^{n+1}$.
 
\item Oszacuj z góry $\binom{n}{k}$ w zależności od $n$ (i od $k$, jeżeli potrafisz).
 
\item Oszacuj z góry iloczyn wszystkich liczb pierwszych z przedziału $(n,2n]$, w zależności od $n$.
 
\item Udowodnij, że w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby $n!$ liczba pierwsza $p$ występuje $\sum_{k=1}^{\infty}[\frac{n}{p^k}]$ i spróbuj stąd obliczyć np. kiedy $\binom{n}{k}$ jest parzysty.
 
\item Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba postaci $99\cdots900\cdots0$ podzielna przez $2009^4$.
 
\item * (Przekleństwo Łukasza) Liczby całkowite dodatnie $a,b,c,d$ spełniają równość $ad= b^2 + bc + c^2$. Udowodnić, że $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ nie jest liczbą pierwszą.
 
\end{enumerate}
 
\end{document}