Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
 
\usepackage{amssymb}
 
\usepackage{amsmath}
 
\textwidth 16cm
 
\textheight 24cm
 
\oddsidemargin 0cm
 
\topmargin 0pt
 
\headheight 0pt
 
\headsep 0pt
 
\usepackage[polish]{babel}
 
\usepackage[OT4]{fontenc}
 
\usepackage[utf8]{inputenc}
 
% ----------------------------------------------------------------
 
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
 
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
 
% THEOREMS -------------------------------------------------------
 
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
 
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
 
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
 
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
 
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
 
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
 
 
\begin {document}
 
\title{Kółko 15.12 - Teoria Liczb II, czyli święta już blisko}
 
\date{}
 
\maketitle
 
\paragraph{\textbf{Zadania łatw(dn)iejsze.}}
 
\begin{enumerate}
 
\item Niech ciąg $(Gib_n)$ będzie określony następująco $Gib_0=0,\ Gib_1=1,\ Gib_{n+1}=Gib_n+Gib_{n-1}$ dla $n\geq 1$.
 
  \begin{enumerate}
 
  \item Oblicz sumę $\sum_{i=0}^nGig_i$.
 
  \item Udowodnij, że $Gib_n^2=Gib_{n-1}Gib_{n+1}+(-1)^{n+1}$, gdzie $n\geq 1$.
 
  \item Dowiedź, że $Gib_n = Gib_{k-1}Gib_{n-k} + Gib_{k}Gib_{n-k+1}$ (albo coś podobnego :) dla wszystkich $n,k$, dla których indeksy nie są ujemne.
 
  \item i z poprzedniego podpunktu wywnioskuj, że $Gib_n|Gib_m \Leftrightarrow n|m \vee n=2$.
 
\end{enumerate}
 
\item Liczby $a,b,\sqrt{a}+\sqrt{b}$ są wymierne. Dowiedź, że $\sqrt{a},\sqrt{b}$ też są wymierne.
 
\item Na kwadratowej tablicy $n\times n$ wpisano liczby $0$ lub $1$, przy czym jest dokładnie $n-1$ jedynek. Na tablicy tej wykonujemy operację (działającą w $O(n)$): wybieramy liczbę $m\in\{1,-1\}$ oraz pole $(i,j)$ i od liczby na tym polu odejmujemy $m$ oraz dodajemy $m$ do wszystkich liczb leżących w $i$-tym wierszu lub $j$-tej kolumnie oprócz pola $(i,j)$. Czy po pewnej liczbie takich operacji możemy otrzymać tablicę złożoną z jednakowych wartości?
 
\item Wykaż, że jeżeli $k\neq n$, to liczby $2^{2^k}+1$ i $2^{2^n}+1$ są względnie pierwsze.
 
\item $\frac{1}{2}*$. Niech $m$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Definiujemy $S=\{n\in\mathbb{N}|m^2\leq n<(m+1)^2\}$. Udowodnić, że iloczyny postaci $ab$, gdzie $a,b\in S$ są różne, tj. $a_1a_2=b_1b_2$ ($a_1,a_2,b_1,b_2\in S$) implikuje $\{a_1,a_2\}=\{b_1,b_2\}$.
 
\end{enumerate}
 
\footnotesize{Źródło zadań - kółko matematyczne PTM Białystok, prowadzone przez prof. Piotra Grzeszczuka.}
 
\end{document}