Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
 
\usepackage{amssymb}
 
\textwidth 16cm
 
\textheight 24cm
 
\oddsidemargin 0cm
 
\topmargin 0pt
 
\headheight 0pt
 
\headsep 0pt
 
\usepackage[polish]{babel}
 
\usepackage[OT4]{fontenc}
 
\usepackage[utf8]{inputenc}
 
%\usepackage{MnSymbol}
 
% ----------------------------------------------------------------
 
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
 
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
 
% THEOREMS -------------------------------------------------------
 
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
 
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
 
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
 
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
 
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
 
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
 
 
\begin {document}
 
\title{Kółko 20.10 - kombinatoryka - zliczanie na chama}
 
\date{}
 
\maketitle
 
Zadanka, bez teorii :) $\mathbb{Z}$ oznacza liczby całkowite, a nie zespolone.
 
  \begin{enumerate}
 
  \item Udowodnij, że:
 
  \begin{enumerate}
 
    \item oblicz sumę wszystkich elementów wszystkich podzbiorów zbioru $\{1,2,\cdots,n\}$.
 
    \item Udowodnij, że jeżeli $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$ jest rokładem na czynniki pierwsze $n$ (czyli $p_k\neq p_j$ dla $k\neq j$, $p_k$-pierwsza, $a_k$ - całkowite nieujemne), to suma dzielników $n$ wynosi $\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_k-1}...\frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}$. Przy okazji: kto pamięta, że $1+p+p^2+\cdots+p^n=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}$ dla $p\neq 1$? :P
 
  \end{enumerate}
 
  \item Yogi zawsze pałuje nierówności, przy czym oczywiście popełnia mnóstwo błędów. Próbował on właśnie policzyć $(a_1+a_2+\cdots+a_k)^n$ ($k,n\in\mathbb{Z}_+$). Powiedz mu, ile różnych jednomianów powinien otrzymać. Brzmi to niejasno, więc przykład: $(a_1+a_2)^2=a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2$, więc misio powinien otrzymać $3$ jednomiany: $a_1^2,a_1a_2,a_2^2$. (źródło - Staszic)
 
  \item Oblicz, na ile sposobów można wybrać takie $x_1,x_2,\cdots,x_k$ całkowite nieujemne, że $x_1+x_2+\cdots+x_k\leq n$ ($n\in\mathbb{Z}_+$).
 
  \item Zbiór $M$ jest podzbiorem zbioru $\{1,2,3,\cdots,3n\}$, gdzie $n$ - całkowite, takim, że jeśli $x,y\in M$, to $x-y\neq n$ i $x+y\neq n$. Ile maksymalnie elementów może mieć zbiór $M$? (źródło - delta)
 
  \item Niech $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ będzie ciągiem liczb naturalnych, a $b_i$ oznacza liczbę elementów ciągu $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$, niemniejszych od $i$. Wykaż, że $\sum_{k=1}^na_i=\sum_{k=1}^{\infty}b_i$, biorąc pod uwagę, że OI własnie się zaczęła. (źródło - Staszic)
 
  \item Niech $p,q$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi, względnie pierwszymi. Wykaż, że $[\frac{p}{q}]+[\frac{2p}{q}]+\cdots+[\frac{(q-1)p}{q}] = [\frac{q}{p}]+[\frac{2q}{p}]+\cdots+[\frac{(p-1)q}{p}]$ (źródło - OM Słowenii)
 
  \item Oblicz, na ile sposobów da się pokryć prostokąt $2\times n$ ($n\in\mathbb{Z}_+$) prostokątami $2\times 1$ i $1\times 2$.
 
  \item Dany jest ciąg $nm+1$ różnych liczb. Wykazać, że podciąg ten zawiera podciąg $n+1$-elementowy rosnący, lub podciąg $m+1$-elementowy malejący. (źródło - Zwardoń)
 
  \item (*) Oblicz maksymalną liczbę:
 
    \begin{enumerate}
 
    \item obszarów, na które dzieli płaszczyznę $n$ prostych,
 
    \item obszarów, na które dzieli przestrzeń $n$ płaszczyzn.
 
    \end{enumerate}
 
    Obszary nieskończone również powinny być policzone.
 
    (źródło - nieocenione zadania dra Kuczmy dla pierwszego roku JSIM)
 
  \end{enumerate}
 
\end{document}