Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: mlodsi.tex
%     Created: Tue Apr 23 10:00 AM 2013 C
% Last Change: Tue Apr 23 10:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
    \begin{minipage}{2.5cm}
        \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
    \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
        \begin{center}
            {\Huge \bfseries \center #1}
 
            \vskip 1mm
            \small \normalfont \sc
            \author{}\\
            \date{}
        \end{center}
    \end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\pagestyle{empty}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
\def\sectionwidth{8cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{23 kwietnia 2013}
\begin{document}
\section{\large Analiza utworu matematycznego na podstawie wybranych fragmentów
``konkursu PTM'' i~dzieł powiązanych}
 
\vspace*{1em}
\emph{To są ciekawe zadania, bardzo zachęcam do prób rozwiązania oraz (potem!)
przeczytania rozwiązań, najlepiej przed PTMem :)}
 
\begin{problem}[koresp, 2013]
    Czy więcej dzielników dodatnich liczby $2013^{2013}$ kończy się jedynką, czy trójką?
    Odpowiedź uzasadnij.
\end{problem}
 
\begin{problem}[koresp, 2013]
    Liczby rzeczywiste $a, b, c, x, y, z$ spełniają równania $a^2 + b^2 + c^2
    = x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Uzasadnij, że
    \[
    a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z \leq 1.
    \]
 
\end{problem}
 
\begin{problem}[koresp, 2013]
    Nora krecika składa się z~$25$ kopczyków połączonych tunelami. Z~każdego
    z~kopczyków wychodzą tunele prowadzące do dwunastu innych kopczyków
    (tunele nie przecinają się). Uzasadnij,
    że krecik może przejść pomiędzy dowolnymi dwoma kopczykami nie wychodząc na
    powierzchnię.
\end{problem}
 
 
\begin{problem}[kl. I, 2012]
    Współczynniki rzeczywiste $a, b, c$ trójmianu $ax^2 + bx + c$ spełniają zależność
    $\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 0$. Udowodnić, że jeśli $a\neq 0$, to równanie $ax^2 + bx + c
    = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
\end{problem}
 
\vspace{3em}
 
\begin{problem}[kl. I, 2011]
    Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $x, y$ takie, że $4x +
(x+1)^2 = y^2$.
\end{problem}
 
\begin{problem}[kl. I, 2013] Dany jest okrąg $\mathbf{o}$ z zaznaczonym środkiem $S$. Udowodnić, że za pomocą cyrkla i linijki można koło ograniczone okręgiem $\mathbf{o}$ podzielić na siedem części o równych polach.
\end{problem}
 
\begin{problem}[kl. I, 2011]
    W~sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ wpisanym w~okrąg
zachodzą równości: $AB = BC$, $CD = DE$, $EF = FA$. Udowodnić, że przekątne $AD$, $BE$, $CF$
tego sześciokąta przecinają się w~jednym punkcie.
\end{problem}
 
\begin{problem}[kl. I, 2012]
    Udowodnić, że z~nieskończonego ciągu liczb naturalnych
    \[
    1, 11, 111, 1111, 11111, \dots
    \]
    którego $n$-ty wyraz jest równy $\underbrace{11\dots1}_{n}$, można wybrać
    nieskończenie wiele różnych wyrazów, z~których każde dwa są liczbami względnie
    pierwszymi.
\vskip3mm
    \noindent Uwaga. \emph{Liczby całkowite $a$ i~$b$ nazywamy względnie pierwszymi, jeżeli jedyną
    liczbą naturalną dzielącą $a$ i~$b$ jest $1$.}
\end{problem}
 
\end{document}