|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: mlodsi.tex
% Created: Sun Mar 25 09:00 PM 2012 C
% Last Change: Sun Mar 25 09:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{\hfill\par}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{./}{style.sty}
\def\sectionwidth{8cm}
%\include{style}
\def\headpicture{./default.png}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{26 marca 2012}
\begin{document}
\section{Zadania z~etapów}
\begin{problem}
Wyznacz wszystkie takie liczby rzeczywiste $x$, że dla których liczby
$x + \sqrt{3}$ oraz $x^2 + \sqrt{3}$ są wymierne.
\end{problem}
\begin{problem}
Dane są takie dodatnie liczby całkowite $a, b$, że iloczyn $ab$ jest
podzielny przez sumę $a + b$. Niech $d$ będzie największym wspólnym
dzielnikiem liczb $a$ i~$b$. Udowodnij, że
\[
d \geq \sqrt{a + b}.
\]
\end{problem}
\begin{problem}
Dana jest dodatnia liczba całkowita $n$. Wykaż, że w~zapisie dziesiętnym
liczby
\[
\sqrt{100^n + 2}
\]
na $n$-tym miejscu po przecinku jest cyfra $0$.
\end{problem}
\begin{problem}
Dowiedź, że istnieje nieskończenie wiele takich $n$ całkowitych dodatnich,
że suma cyfr w~zapisie dziesiętnym liczby $2^n + n$ jest mniejsza niż suma
cyfr liczby $2^n$.
\end{problem}
\begin{problem}
Niech $p$ będzie liczbą liczb pierwszych w~zbiorze
$\{1,2,\dots,2012^{2012}\}$. Dowiedź, że wśród dowolnych
$p+1$ liczb z~tego zbioru można znaleźć liczbę, która jest dzielnikiem
iloczynu pozostałych liczb.
\end{problem}
\begin{problem}
Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$. Punkty $K$ i~$L$ są odpowiednio
środkami boków $BC$ i~$AD$. Symetralne odcinków $AB$ i~$CD$ przecinają
odcinek $KL$ odpowiednio w~punktach $P$ i~$Q$. Wykaż, że jeżeli $KP = LQ$,
to proste $AB$ i~$CD$ są równoległe.
\end{problem}
\begin{problem}
Czy na powierzchni każdego czworościanu $ABCD$ można wskazać takie cztery punkty
$X\in \triangle BCD, Y \in \triangle ACD, Z\in \triangle ABD, T\in
\triangle ABC$, z~których żadne dwa nie leżą na
jednej ścianie czworościanu i~takie, że spełniony jest warunek $*$?
\begin{enumerate}
\item Jeżeli $* = XYZT$ jest równoległobokiem,
\item Jeżeli $* = XYZT$ jest rombem,
\item Jeżeli $* = XYZT$ jest kwadratem,
\end{enumerate}
W~których z~powyższych sytuacji można znaleźć punkty $X, Y, Z, T$ nie
leżące na krawędziach?
\end{problem}
\begin{problem}[$\ddot\smile$]
\textsc{Zadanie ratunkowe}~--- gdyby ktoś widział/rozwalił powyższe zadania,
proponuję powiedzieć mi o~tym~--- dam ``czekadełka''.
\end{problem}
\end{document}
|
