Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: mlodsi.tex
%     Created: Sun Mar 04 08:00 PM 2012 C
% Last Change: Sun Mar 04 08:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 26cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
\usepackage{marginnote}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 1mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{10cm}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{12 marca 2012}
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-0.6in}
\section{Fibonacci II}
 
\begin{defn}
    Ciąg Fibonacciego to ciąg zadany równaniami
    \[
    F_0 = 0,\quad F_1 = 1\quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \hbox{ dla } n\geq 2.
    \]
    ta definicja jest równoważna
\[
F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \left( \varphi_1^{n} - \varphi_{2}^{n} \right)
 = \frac{\varphi_1^{n} - \varphi_{2}^{n}}{\varphi_1 - \varphi_2},
\]
gdzie $\varphi_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} > \varphi_{2} = \frac{1 -
\sqrt{5}}{2}$ są pierwiastkami równania $x^2 = x + 1$.
\end{defn}
 
\subsection{Zadania indukcyjne na Fiba (z~poprzedniego kółka)}
 
\begin{problem} Niech $n, k$ będą liczbami naturalnymi.
    Uzasadnij, że $F_{n+1} F_k + F_n F_{k-1} = F_{n+k}$.
\end{problem}
 
\begin{problem} Niech $n$ będzie liczbą naturalną. Uzasadnij, że
    $F_1 + F_3 + F_5 + \dots + F_{2n-1} = F_{2n}$.
\end{problem}
 
\begin{problem} Niech $n$ będzie liczbą naturalną.
    Uzasadnij, że $F_0 + F_1 + \dots + F_{n} = F_{n+2} - 1$.
\end{problem}
 
\begin{problem} Niech $n$ będzie liczbą naturalną. Udowodnij, że
    $\sum_{i=1}^n iF_i = nF_{n+2} - F_{n+3} + 2$.
\end{problem}
\begin{problem} Niech $n$ będzie liczbą naturalną. Udowodnij, że
    $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Uzasadnij, że jeżeli $r\big|n$ są liczbami naturalnymi, to $F_r\big|F_n$.
\end{problem}
 
\begin{problem}[Zadanie $\star$]
    Uzasadnij, że jeżeli $m, n$ są liczbami naturalnymi, to $NWD(F_n, F_m) =
    F_{NWD(n, m)}$.
\end{problem}
 
\begin{problem}[Zadanie $\star$]
    Udowodnij tożsamość
    \[
    \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} F_{k} = F_{2n}.
    \]
    \emph{Wskazówka: jeżeli robisz algebraicznie, to pamiętaj, że
    $\varphi_{i}^2 = \varphi_i + 1$.}
\end{problem}
 
\subsection{Ciągi rekurencyjne i~macierze, paragraf dla niezainteresowanych
poprzednim.}
\marginnote{\it Ten margines jest zbyt wąski, żeby zmieścić teorię z~poprzedniego
kółka dotyczącą macierzy.}
\begin{problem}[Zadanie z~$\star$]
    Ciąg $a_n$ zadany jest wzorem $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_{n}$.
    Oblicz, jaki jest \emph{wzór ogólny} (tzn. wzór nierekurencyjny, zależny
    tylko od $n$) tego ciągu, jeżeli
    \begin{enumerate}
        \item $a_0 = 1, a_1 = 2$,
        \item $a_0 = 1, a_1 = 1$,
        \item $a_0 = 3, a_1 = 5$.
    \end{enumerate}
\end{problem}
 
\begin{problem}[Zadanie z~$\star$]
    Sprawdź, jak mnożymy macierze, korzystając ze wskazówek Yogiego na
    tablicy.
\end{problem}
 
\begin{problem}[Zadanie $\star\star\star$]
    \def\F{\mathbb{F}}
    Połóżmy $\F := \begin{pmatrix}1 &1\\ 1 &0\end{pmatrix}$, wtedy $\F^n =
        \begin{pmatrix}
            F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1}
        \end{pmatrix}\hbox{ dla } n > 0$.
 
    Spróbuj udowodnić wzór $F_{n+1} F_k + F_n F_{k-1} = F_{n+k}$ korzystając ze
    wzoru $\F^n\cdot \F^k = \F^{n+k}$.
 
    Spróbuj udowodnić wzór $F_0 + F_1 + \dots + F_{n} = F_{n+2} - 1$
    korzystając ze wzoru $I + \F + \dots + \F^n = \frac{\F^{n+1} - I}{\F - I}$
    i~tego, że $1/(\F - I) = \F$.
\end{problem}
 
\end{document}