|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: mlodsi.tex
% Created: Mon Feb 20 10:00 AM 2012 C
% Last Change: Mon Feb 20 10:00 AM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{\hfill\par}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{8cm}
%\include{style}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{20 lutego 2012}
\begin{document}
\section{Geo musi odejść}
\emph{Sporo zadań z~tego kółka jest wziętych ze skryptu dra Pompe.}
\subsection{Teoria}
Styczne do okręgu $o$ wypuszczone z~punktu $P$ są równej długości, bo są symetryczne
względem prostej łączącej $P$ ze środkiem okręgu. Liczyłeś na więcej teorii?
Nie dzisiaj.
\begin{problem}
Odcinki $AB$ i~$CD$ są wspólnymi stycznymi zewnętrznymi okręgów $o_1,
o_2$ (na kółku wyjaśnię, co to znaczy). Uzasadnij, że $|AB| = |CD|$.
\end{problem}
Dla uproszczenia notacji: $a := |BC|, b := |CA|, c := |AB|$ gdzie $ABC$ jest
trójkątem.
\begin{problem}
Niech $D, E, F$ będą punktami styczności okręgu wpisanego w~$ \triangle
ABC$ do boków $BC, CA, AB$ odpowiednio. Uzasadnij, że
\[
|AE| = |AF| = \frac{b+c-a}{2},\quad |BD| = |BF| = \frac{a + c -
b}{2},\quad |CD| = |CE| = \frac{a + b - c}{2}.
\]
\end{problem}
\begin{problem}
\emph{Okrąg dopisany} do boku $AB$ trójkąta $ \triangle ABC$ to okrąg
styczny do $AB$ i~do przedłużeń boków $BC, CA$. Oznaczmy punkty styczności
tego okręgu do $BC, CA, AB$ jako $D, E, F$ odpowiednio. Udowodnij, że
\[
|AF| = |AE| = \frac{a + c - b}{2},\quad |BF| = |BD| =
\frac{b + c - a}{2},\quad |CD| = |CE| = \frac{a + b + c}{2}.
\]
\end{problem}
\begin{problem}
Okręgi dopisane do boków $AC, BC$ trójkąta $ABC$ są styczne do tych boków
w~$E, D$ odpowiednio. Udowodnij, że $AE = BD$.
\end{problem}
\begin{problem}
Niech $D_1$ będzie punktem styczności okręgu dopisanego do boku $AB$
trójkąta $ \triangle ABC$ z~bokiem $AB$. Niech $D_2$ będzie punktem
styczności okręgu wpisanego w~$ \triangle ABC$ do boku $AB$. Uzasadnij, że
$D_1,D_2$ są symetryczne względem środka $AB$.
\end{problem}
\begin{problem}
Okręgi $o_1$ i~$o_2$ są styczne w~$X$. Prosta $AB$ jest ich wspólną
styczną zewnętrzną, przy czym $A, B$ są punktami styczności. Uzasadnij, że $ \angle AXB = 90^\circ$.
\end{problem}
\begin{problem}[Zadanie z~$\star$]
Udowodnij, że w~czworokąt wypukły $ABCD$ można wpisać okrąg wtedy i~tylko
wtedy, gdy $AB + CD = AD + BC$.
\emph{Wskazówka: gdy mamy okrąg wpisany, jest prosto. W~drugą stronę
trzeba narysować okrąg styczny do trzech boków i~skorzystać z~nierówności
trójkąta.}
\end{problem}
\begin{problem}
Wykaż, że w~czworokąt wypukły $ABCD$ można wpisać okrąg wtedy i~tylko
wtedy, gdy okręgi wpisane w~trójkąty $ABD$ i~$BCD$ są styczne.
\end{problem}
\end{document}
|
