Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: mlodsi.tex
%     Created: Mon Jan 16 08:00 AM 2012 C
% Last Change: Mon Jan 16 08:00 AM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{9cm}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{16 stycznia 2012}
\begin{document}
\section{Punkty szczególne w~trójkącie}
 
    \begin{minipage}{12cm}
        \begin{thm}
            Trzy symetralne boków trójkąta przecinają się w~jednym punkcie,
            będącym \emph{środkiem okręgu opisanego} na trójkącie.
            Punkt ten zwykle oznaczamy $O$.
        \end{thm}
    \end{minipage}\begin{minipage}{4cm}
        \includegraphics{O}
    \end{minipage}
 
    \begin{minipage}{12cm}
        \begin{thm}
            Trzy środkowe trójkąta przecinają się w~jednym punkcie,
            zwanym \emph{środkiem ciężkości} trójkąta.
            Punkt ten zwykle oznaczamy $M$.
        \end{thm}
    \end{minipage}\begin{minipage}{4cm}
        \includegraphics{M}
    \end{minipage}
 
    \begin{minipage}{12cm}
        \begin{thm}
            Trzy dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w~jednym punkcie,
            będącym \emph{środkiem okręgu wpisanego} w~trójkąt.
            Punkt ten zwykle oznaczamy $I$.
        \end{thm}
    \end{minipage}\begin{minipage}{4cm}
        \includegraphics{I}
    \end{minipage}
 
    \begin{minipage}{12cm}
        \begin{thm}
            Trzy wysokości trójkąta przecinają się w~jednym punkcie,
            zwanym \emph{ortocentrum} trójkąta.
            Punkt ten zwykle oznaczamy $H$.
        \end{thm}
    \end{minipage}\begin{minipage}{4cm}
        \includegraphics{H}
    \end{minipage}
 
\begin{problem}
    Uzasadnij, że jeśli $ \triangle ABC$ jest równoboczny, to $I = O = H = M$,
    gdzie $I, O, H, M$ są punktami szczególnymi $ \triangle ABC$
    zdefiniowanymi wyżej.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    W~pewnym trójkącie $H$ pokrywa się z~$O$. Udowodnij, że trójkąt ten jest
    równoboczny.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    W~pewnym trójkącie $I$ pokrywa się z~$O$. Udowodnij, że trójkąt ten jest
    równoboczny.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $A_1,B_1,C_1$ oznaczają odpowiednio środki boków $BC, CA, AB$
    trójkąta $ \triangle ABC$. Który z~punktów szczególnych $ \triangle ABC$
    jest równy środkowi ciężkości $ \triangle A_1B_1C_1$ a~który jest równy ortocentrum
    $ \triangle A_1B_1C_1$?
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $ \triangle ABC$ będzie trójkątem.
 
    Niech $H_A, H_B, H_C$ będą przecięciami wysokości opuszczonych z~$A, B, C$
    z~bokami $BC, CA, AB$ odpowiednio. Uzasadnij, że wysokości $ \triangle
    ABC$ są dwusiecznymi trójkąta $ \triangle H_AH_BH_C$ i~wywnioskuj, że $H$
    jest środkiem okręgu wpisanego w~$H_AH_BH_C$.
\end{problem}
 
\begin{problem}[Zadanie $\star$]
    Niech $ \triangle ABC$ będzie trójkątem.
 
    Uzasadnij, że istnieje okrąg styczny do boku $AB$ od zewnątrz oraz do
    przedłużeń boków $CA, CB$. Nazywamy go \emph{okręgiem dopisanym} do boku
    $AB$ trójkąta $ \triangle ABC$, a~jego środek oznaczamy $J_{AB}$. Dalej
    $I$ oznacza środek okręgu wpisanego w~$ \triangle ABC$, a~$J =
    J_{AB}$.
 
    \emph{Przy poniższych podpunktach warto pamiętać o~sposobie, w~jaki
    konstruowaliśmy $J_{AB}$ i~własnościach dwusiecznych.}
    \begin{enumerate}
        \item Udowodnij, że punkty $C, I, J$ są współliniowe.
        \item Uzasadnij, że $ \angle IAJ =  \angle IBJ = 90^\circ$.
        \item Niech $K$ będzie środkiem odcinka $IJ$. Wykaż, że $A, B, I,
            J$ leżą na okręgu o~środku w~$K$.
        \item Dowiedź, że $K$ leży na okręgu opisanym na $ \triangle ABC$, na
            dwusiecznej kąta $ \angle BCA$ oraz na symetralnej odcinka $AB$.
    \end{enumerate}
\end{problem}
\begin{cor}
    Dwusieczna kąta $ \angle C$ i~symetralna $AB$ przecinają się w~punkcie
    leżącym na okręgu opisanym na $ \triangle ABC$.
\end{cor}
 
 
\end{document}