|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: mlodsi.tex
% Created: Sun Nov 13 07:00 PM 2011 C
% Last Change: Sun Nov 13 07:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{\hfill\par}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{8cm}
%\include{style}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{15 listopada 2011}
\begin{document}
\section{Średnie~--- dowód}
\begin{defn}
Niech liczby $a_1,\dots,a_n$ będą dodatnie.
Definiujemy średnie:
\begin{enumerate}
\item Harmoniczną: $H_n(a_1,\dots,a_n):=\frac{n}{\frac{1}{a_1} +
\frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}}.$ np. $H_3(a, b, c) =
\frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$.
\item Geometryczną: $G_n(a_1,\dots,a_n):=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot
\dots \cdot a_n}$, np. $G_6(q,w,e,r,t,y) = \sqrt[6]{qwerty}$.
\item Arytmetyczną: $A_n(a_1,\dots, a_n) := \frac{a_1 + a_2 + \dots +
a_n}{n}$, np. $A_2(x, y) = \frac{x+y}{2}$.
\item Kwadratową: $K_n(a_1,\dots,a_n):=\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 +
\dots + a_n^2}{n}}$, np. $K_4(1, 2, 3, 4) =
\sqrt{\frac{1 + 4 + 9 + 16}{4}}$.
\end{enumerate}
\end{defn}
\emph{Celem tego kółka jest udowodnienie następującego twierdzenia (w~wersji
bez gwiazdki, dla $n\leq 4$:}
\begin{thm}[Nierówność pomiędzy średnimi]
Jeżeli liczby $a_1,\dots,a_n$ są dodatnie, to
\[
H_n(a_1,\dots,a_n) \leq G_n(a_1,\dots,a_n) \leq A_n(a_1,\dots,a_n) \leq
K_n(a_1,\dots,a_n).
\]
\end{thm}
\begin{problem}
\emph{Na początku udowodnisz nierówność $G_n \leq A_n$.}
\begin{enumerate}
\item Udowodnij, że $G_2(a_1, a_2) \leq A_2(a_1, a_2)$.
\item Udowodnij nierówność $G_4(a_1,a_2,a_3,a_4) \leq A_4(a_1,a_2,
a_3,a_4)$.\\\emph{Zauważ, że $G_4(a_1,a_2,a_3,a_4) =
G_2(G_2(a_1,a_2),G_2(a_3, a_4))$. Zastosuj $G_2\leq A_2$.}
\item Udowodnij nierówność $G_3(a_1,a_2,a_3) \leq A_3(a_1,a_2,a_3)$.\\
\emph{Przekształć nierówność $G_4(a_1,a_2,a_3,A(a_1,a_2,a_3)) \leq
A_4(a_1,a_2,a_3,A_3(a_1,a_2,a_3))$.}
\item $\star$. Uogólnij poprzednie podpunkty aby udowodnić, że jeśli $G_n
\leq A_n$ to $G_{2n} \leq A_{2n}$ oraz $G_{n-1}\leq A_{n-1}$.
Wywnioskuj, że $G_n \leq A_n$ jest prawdziwe dla wszystkich $n\geq 1$
stosując np. dziwny rodzaj indukcji.
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}
Udowodnij, że
\begin{enumerate}
\item $H_n(a_{1}^{-1},a_2^{-1},\dots, a_n^{-1}) =
A_n(a_1,\dots,a_n)^{-1}$
\item $G_n(a_{1}^{-1},a_2^{-1},\dots, a_n^{-1}) =
G_n(a_1,\dots,a_n)^{-1}$.
\item $H_n \leq G_n$. \emph{Zastosuj $G_n\leq A_n$ dla odwrotności.}
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}
Udowodnij $A_n \leq K_n$, podnosząc obie strony do kwadratu. Jeżeli masz
problemy, spróbuj najpierw dla $n=2$, potem ewentualnie $n=3$.
\end{problem}
\end{document}
|
