|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zad.tex
% Created: Tue Nov 01 08:00 PM 2011 C
% Last Change: Tue Nov 01 08:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 26cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{\hfill\par}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{8cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{2 listopada 2011}
\usepackage{multicol}
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}
\setlength{\footskip}{10pt}
\section{Warunki}
%\subsection{Młodsi~--- warunki}
\begin{problem}[Przykład]
Liczby dodatnie $a, b, c$ są takie, że $a + b + c = \frac{1}{223}$.
Uzasadnij, że $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 2007$.
\end{problem}
\vskip 1em
W~większości wypadków stykając się z~nierównością zawierającą warunek możemy
go usunąć. Metoda używa tzw. wyrażeń jednorodnych.
Zauważmy, że podstawienie w~wyrażeniu $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +
\frac{1}{c}$ zamiast $a$ liczby $n\cdot a$, zamiast $b$ liczby $n\cdot b$ i~zamiast $c$
liczby $n\cdot c$ da nam wyrażenie $n^{\bold{-1}}\cdot \left(
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$. Powiemy więc, że wyrażenie
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ jest jednorodne stopnia $\bold{-1}$.
Pora na formalną definicję $\ddot\smile$, która w~zasadzie nie jest potrzebna,
jak się zrozumie, o~co chodzi:
\begin{defn}[Wyrażenie jednorodne]
Wyrażenie jest jednorodne stopnia $k$, jeżeli dla każdego $n > 0$
po powiększeniu $n$ razy
każdej ze zmiennych wyjściowe wyrażenie przyjmuje wartość $n^k$ razy
większą.
\end{defn}
\begin{cor}
Jeżeli wyrażenie $W$ jest stopnia $k$ i~$V$ jest stopnia $k$, to $W + V$
jest stopnia $k$. Jeżeli $W$ jest stopnia $k$, a~$V$ stopnia $l$, to
$W\cdot V$ jest stopnia $k + l$.
\end{cor}
Przykłady wyrażeń (zmienne wszędzie $a, b, c$):
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Wyrażenia $a, a + 2\cdot b, a + b + c$ są jednorodne stopnia $1$,
gdyż $(na) = n\cdot (a), \ (na) + 2\cdot (nb) = n\cdot (a + 2\cdot b)$ oraz $(na) +
(nb) + (nc) = n\cdot (a + b+ c)$.
\item Wyrażenie $4$ jest jednorodne stopnia $0$~--- cokolwiek nie
zmienialibyśmy w~zmiennych $a, b, c$ wartość jest stała.
Jednorodne stopnia $0$ jest też wyrażenie $\frac{b}{c}$ oraz np.
wyrażenie $\frac{b^2}{ac} + 2 + a^{-1}b$.
\item Wyrażenie $\frac{a^4}{b} + bc\cdot \sqrt{ab}$ jest jednorodne stopnia $3$,
bo
\[
\frac{(na)^4}{nb} + (nb)(nc)\cdot \sqrt{(na)(nb)} = n^3\cdot
\left(\frac{a^4}{b} + bc\cdot \sqrt{ab}\right).
\]
\item Wyrażenie $a^2 + b$ nie jest jednorodne, bo (\emph{to nie formalne
wyjaśnienie}) $(n\cdot a)^2 + nb = n^2 a^2 + n\cdot b$ i~tego nie da
się przedstawić w~postaci $n^k\cdot (a^2 + b)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{sol}[Rozwiązanie zadania $1$]
\emph{Część nieoficjalna~--- jak wykorzystać warunek.}
Chcemy tak użyć warunku, by w~nierówności będącej tezą strony były
jednorodne i~równych stopni. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +
\frac{1}{c}$ jest stopnia $-1$, a~$2007$ jest stopnia $0$. W~warunku lewa
strona jest stopnia $1$ a~prawda stopnia $0$, zatem wymnażamy lewą stronę
teza przez (dodatnią!) lewą stronę warunku, a~prawą stronę tezy przez
prawą stronę warunku:
\[
(a + b + c)\cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)
\geq 9
\]
co po podzieleniu przez $3\cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +
\frac{1}{c} \right)$ jest nierównością pomiędzy średnią arytmetyczną,
a~harmoniczną.
\end{sol}
\emph{Wszystkie poniższe zadania po odpowiednim wstawieniu warunku sprowadzają
się do nierówności, które można udowodnić stosując średnią arytmetyczną
i~geometryczną.}
\begin{problem}
Kwadraty liczb dodatnich $a, b, c$ sumują się do $1$. Uzasadnij, że
$-\frac{1}{2} \leq ab + bc + ca \leq 1$.
\end{problem}
\begin{problem}
Liczby dodatnie $a, b, c$ spełniają warunek $a + b + c = 1$. Udowodnij, że
zachodzi nierówność $a^2 + b^2 + c^2 - 2(ab + bc + ca) \geq
-\frac{1}{3}$.
\end{problem}
\begin{problem}
Iloczyn liczb dodatnich $a, b, c$ jest równy $1$. Udowodnij, że $a + b
+ c \geq 3$. Wykaż też, że $a^2 + b^2 + c^2 \geq 3$.
\end{problem}
\begin{problem}
Iloczyn liczb dodatnich $a,b,c,d$ to $2011$. Jaka jest najmniejsza wartość
wyrażenia $a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} + d^{-1}$?
\end{problem}
\begin{problem}[Zadanie $\star$]
Liczby dodatnie $a, b, c$ sumują się do $1$. Pokaż, że $(1+a)(1+b)(1+c)
\geq 8(1-a)(1-b)(1-c)$.
\end{problem}
\end{document}
|
