Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Sun Oct 23 03:00 PM 2011 C
% Last Change: Sun Oct 23 03:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\def\labelproblem{\sectionID{}\theproblem{}}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \labelproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{./}{style-poprawki.sty}
%\include{style}
 
\def\headpicture{pi_roger.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{25 października 2011}
 
\def\bareroger{\includegraphics[height=1em]{jolly-roger-mat}}
\def\roger{\ \ \hbox{\bareroger{}}\ \ }
\usepackage{multicol}
\begin{document}
\section{Nierówności I}
 
\subsection{Młodsi}
\def\sectionID{M}
\begin{problem}
    \emph{Bez teorii.}
    Liczby $a, b$ są rzeczywiste, a~liczby $x, y$~--- rzeczywiste
    dodatnie.
 
    We wszystkich poniższych nierównościach zastąp \bareroger{} jednym ze
    znaków: $\geq, \leq$ po czym udowodnij otrzymaną nierówność.
 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $a^2 + b^2 \roger 2ab$
    \item $(a+b)^2 \roger 4ab$
    \item $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \roger \frac{4}{x+y}$
    \item $\frac{2}{\sqrt{xy}} \roger \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
    \item $2\sqrt{xy} \roger x + y$
    \item $2(x+1)(y+1) \roger 2 + x(x+2) + y(y+2)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{problem}
 
\begin{thm}[Nierówność pomiędzy średnimi, dla trzech liczb]
    Jeżeli $a, b, c > 0$ to zachodzi
    \[
    \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \leq \sqrt[3]{abc} \leq
    \frac{a+ b + c}{3} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}.
    \]
    przy czym równość w~krórejkolwiek z~nierówności zachodzi wtedy i~tylko
    wtedy, gdy $a = b = c$.
\end{thm}
\emph{Warto wiedzieć, że analogiczne nierówności, z~$3$ zastąpionym
w~odpowiednich miejscach przez $n$, są również prawdziwe. Prawdziwe są też
o~wiele ogólniejsze nierówności zwane nierównościami pomiędzy średnimi
potęgowymi.}
 
\begin{problem}
    \emph{Średnie.}
    Liczby $a, b, c$ są rzeczywiste dodatnie.
 
    We wszystkich poniższych nierównościach zastąp \bareroger{} jednym ze
    znaków: $\geq, \leq$ po czym udowodnij otrzymaną nierówność.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \roger
        \frac{9}{a+b+c}$
    \item $(a+b+c)^2 \roger 3(a^2 + b^2 + c^2)$
    \item $2ab + 2bc + 2ca \roger 2(a^2 + b^2 + c^2)$
    \item $(a + b + c)^2 \roger 3(ab + bc + ca)$
    \item $a^2 + b^2 + c^2 + 3\roger 2(a + b + c)$
    \item $\frac{1}{3}\cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2 \roger a + b + c$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{6}
    \item $\left( a + \frac{b^2}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{c^2}{b} \right)^2
        + \left( c + \frac{a^2}{c} \right)^2 \roger 4(a^2 + b^2 + c^2)$
    \item $a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b \roger 6abc$
    \item $a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b \roger 2(a^3 + b^3 + c^3)$
    \item $(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) \roger a^3 + b^3 + c^3 + 6abc$
\end{enumerate}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a, b, c$ zachodzą nierówności
    \[
    \sqrt{\frac{3}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}
    \leq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}\hbox{  oraz
    }\sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}} \leq \sqrt[4]{\frac{a^4 + b^4 + c^4}{3}}.
    \]
\end{problem}
 
\end{document}