Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Zadania przygotował Karol Kowalski

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
 
\begin{document}
\section{Warunki w nierównościach}
\begin{enumerate}
\item Liczby dodatnie $a,b$ spełniają $a+b = 1$. Udowodnić, że
$$a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} \hbox{ oraz } \sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$$
\source{known}
 
\item Liczby rzeczywiste $a,b,c$ spełniają $a^2 + b^2 + c^2 = 1$. Udowodnić, że
$$-\frac{1}{2} \leq ab + bc + ca \leq 1$$
\source{known}
 
\item Udowodnić, że jeżeli $a,b,c$ są długościami boków trójkąta, to
$$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{a+c-b} + \frac{c}{a+b-c}\geq 3$$
\source{known}
 
\item Niech $a,b,c$ będą dodatnie i $abc=1$. Udowodnij, że
$$ab+bc+ca \geq 3$$
\source{known}
 
\item Liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ są dodatnie i takie, że $a_1a_2\dots a_n =1$. Udowodnij, że
$$(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)\geq 2^n$$
\source{Koło PTMu}
 
\item * Niech $a,b$ będą liczbami dodatnimi, takimi, że $a+b = 1$. Udowodnić, że
$$\frac{a^2}{a+1} + \frac{b^2}{b+1} \geq \frac{1}{3}$$
\source{Jungary 1996, Hoojoo Lee}
 
\end{enumerate}
\end{document}