Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
\def\deg{^{\circ}}
 
\begin{document}
 
\section{PROSERWY - dzień piąty}
\begin{enumerate}
 
%\item Prostokąt $ABCD$ ma pole $400$. Maksymalnie jaki może on mieć obwód?
\item Karol i Ola, znudzeni wykładami Yogiego, poszli do sadu. Zebrali $n$ czerwonych i $m$ zielonych jabłek. Oczywiście czerwonych było więcej, gdyż każdy wie, że są lepsze. Pani Bujnowska piecze z nich ciasto takie, że :* jedno jabłko starcza tylko na jeden kawałek. Karol jest wielkim łakomczuchem, jednak nie lubi zielonych jabłek. Chce więc zjeść tyle kawałków, żeby mieć pewność, że co najmniej połowa z nich będzie zrobiona z czerwonych jabłek, ale nie chce się przejeść (zje minimalną liczbę kawałków spełniającą jego wymagania). Ile kawałków ciasta zostanie dla Oli?\\
* Jeden kawałek zawiera dokładnie 1 całe jabłko, albo zielone albo czerwone.
 
\item W trójkącie $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, kąt przy podstawie ma miarę $75\deg$. Udowodnij, że podstawa trójkąta ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na $ABC$.
 
\item Liczby dodatnie $a, b, c$ spełniają $a+b+c=1$. Udowodnij, że
$$ab + bc + ca \geq 9abc$$
 
\end{enumerate}
 
$ $\\[1cm]
 
\section{PROSERWY - dzień piąty}
\begin{enumerate}
 
%\item Prostokąt $ABCD$ ma pole $400$. Maksymalnie jaki może on mieć obwód?
\item Karol i Ola, znudzeni wykładami Yogiego, poszli do sadu. Zebrali $n$ czerwonych i $m$ zielonych jabłek. Oczywiście czerwonych było więcej, gdyż ażdy wie, że są lepsze. Pani Bujnowska piecze z nich ciasto takie, że :* jedno jabłko starcza tylko na jeden kawałek. Karol jest wielkim łakomczuchem, jednak nie lubi zielonych jabłek. Chce więc zjeść tyle kawałków, żeby mieć pewność, że co najmniej połowa z nich będzie zrobiona z czerwonych jabłek, ale nie chce się przejeść (zje minimalną liczbę kawałków spełniającą jego wymagania). Ile kawałków ciasta zostanie dla Oli?\\
* Jeden kawałek zawiera dokładnie 1 całe jabłko, albo zielone albo czerwone.
 
\item W trójkącie $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, kąt przy podstawie ma miarę $75\deg$. Udowodnij, że podstawa trójkąta ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na $ABC$.
 
\item Liczby dodatnie $a, b, c$ spełniają $a+b+c=1$. Udowodnij, że
$$ab + bc + ca \geq 9abc$$
 
\end{enumerate}
 
\end{document}