Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
 
\begin{document}
 
\section{PROSERWY - dzień trzeci}
 
\begin{enumerate}
\item \level{1} Niech $ABCD$ będzie prostokątem, a punkt $P$ będzie dowolny (leżący w płaszczyźnie $ABCD$). Udowodnić, że
$$AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$$
\source{known}
 
\item \level{2} Funkcja $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ przyjmuje stale wartości nieujemne. Ponadto zachodzi
$$f(x+y)\geq f(x) + f(y)$$
dla wszystkich $x,y\in\mathbb{R}$.\\
Udowodnić, że $f(x) = 0$ dla wszystkich $x\in\mathbb{R}$.
\source{Koło PTM}
 
\item \level{3} Sześcian $S$ o krawędzi $2$ jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. \emph{Klockiem} nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu $S$ jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian $T$ o krawędzi $2^n$ jest zbudowany z $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych. Udowodnić, że po usunięciu z sześcianu $T$ dowolnego spośród $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.
\source{L OM - 2. etap}
\end{enumerate}
 
$ $\\[1cm]
 
\section{PROSERWY - dzień trzeci}
 
\begin{enumerate}
\item \level{1} Niech $ABCD$ będzie prostokątem, a punkt $P$ będzie dowolny (leżący w płaszczyźnie $ABCD$). Udowodnić, że
$$AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$$
\source{known}
 
\item \level{2} Funkcja $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ przyjmuje stale wartości nieujemne. Ponadto zachodzi
$$f(x+y)\geq f(x) + f(y)$$
dla wszystkich $x,y\in\mathbb{R}$.\\
Udowodnić, że $f(x) = 0$ dla wszystkich $x\in\mathbb{R}$.
\source{Koło PTM}
 
\item \level{3} Sześcian $S$ o krawędzi $2$ jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. \emph{Klockiem} nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu $S$ jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian $T$ o krawędzi $2^n$ jest zbudowany z $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych. Udowodnić, że po usunięciu z sześcianu $T$ dowolnego spośród $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.
\source{L OM - 2. etap}
\end{enumerate}
 
 
\end{document}