Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu (kompilować z linii poleceń 2 razy ze względu na bibliografię).

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{graphics}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
 
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}
 
\def\source#1{}%\footnotesize Źródło: #1 \normalsize}
\def\level#1{}%\textbf{Trudność} #1}
\def\comment#1{}%\ [[#1]]\ }
\def\deg{^{\circ}}
 
\begin{document}
 
%-----------------------------------------------------
 
\begin{titlepage}
 
\begin{center}
 
 
% Upper part of the page
\includegraphics{micek-5cm.jpg}\\[1cm]
 
\textsc{\LARGE I Liceum Ogólnokształcące w Białymstoku}\\[0.2cm]
\textsc{\LARGE Podlaskie Stowarzyszenie na Rzecz Uzdolnionych}\\[1.5cm]
 
 
% Title
\HRule \\[0.4cm]
{ \huge \bfseries Obóz Naukowy PROSERWY 2009}\\[0.1cm]
{\Large \bfseries Zadania matematyczne}
\HRule \\[1.5cm]
 
\begin{minipage}{85mm}
\large\emph{Kadra obozu:}\\
Aleksandra \textsc{Baranowska}\\
Iwona \textsc{Bujnowska}\\
Joachim \textsc{Jelisiejew}\\
Karol \textsc{Kowalski}
$ $\\
$ $\\
\end{minipage}\begin{minipage}{65mm}
\flushleft\large
{\emph{Hymn:}}\\
Kiedy Ci puszczają nerwy\\
na PROSERWY, na PROSERWY!\\
Nie smakują Ci konserwy?\\
Na PROSERWY, na PROSERWY!\\
Tu zadania rób bez przerwy!\\
Na PROSERWY, na PROSERWY!\\
\end{minipage}
 
\vfill
 
% Bottom of the page
{\LARGE \bfseries Serwy, 20 -- 26 września 2009}
 
\end{center}
 
\end{titlepage}
 
\setcounter{page}{2}
 
%-----------------------------------------------------
 
\tableofcontents
\newpage
 
\section{Wstęp}
  W dniach $20$ -- $26$ września $2009$ roku odbył się obóz matematyczno-informatyczny I Liceum Ogólnokształcącego w Białystoku  im. Adama Mickiewicza. Poniżej prezentujemy zadania oraz wykłady z tego obozu. Zadania są w większości wzięte z ogólnodostępnych źródeł, wymienionych na końcu. Wykłady, z jednym zaznaczonym wyjątkiem, są autorstwa osób będących w kadrze obozu.
 
\newpage
 
\section{Zawody indywidualne}
 
\subsection{Grupa początkująca}
\begin{enumerate}
\item \level{1} O podłogę i prostopadłą do niej ścianę stoi oparta drabina. Nóżki drabiny przesuwają się po podłodze (bez poślizgu) prostopadle do ściany i drabina obsuwa się. Na środku drabiny siedzi kotek (którego traktujemy jako punkt). Udowodnić, że w miarę opadania drabiny kotek zakreśli w przestrzeni łuk okręgu.
\source{Koło PTM}
 
\item \level{2} Udowodnij, że jeżeli liczba całkowita dodatnia $n$ ma nieparzystą ilość dzielników (całkowitych dodatnich), to jest kwadratem liczby całkowitej dodatniej.
\source{known}
 
\item \level{3} W kole o promieniu $10$ wybrano $99$ punktów. Udowodnij, że wewnątrz koła istnieje punkt odległy od każdego z wybranych punktów o więcej niż 1.
\source{I OMG}
 
\item \level{2} Udowodnić, że trójkąt jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz trójkąta.
\source{known}
%for easy
 
\item \level{2} Niech $S(n)$ oznacza sumę cyfr liczby naturalnej $n$. Obliczyć $S(S(S(2006^{2009})))$.
\source{known}
 
\item \level{3} $2009$ uczestników obozu naukowego stoi w serwerowni. Odległości pomiędzy każdymi dwoma z nich są różne. Każdy z nich ma jedną piłkę. Jednocześnie rzucają oni piłki, każdy najbliżej stojącemu uczestnikowi. Udowodnić, że pewien uczestnik nie dostanie piłki.
\source{Mathlinks}
 
\item \level{1} Niech $ABCD$ będzie prostokątem, a punkt $P$ będzie dowolny (leżący w płaszczyźnie $ABCD$). Udowodnić, że
$$AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$$\source{known}
 
\item \level{2} Funkcja $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ przyjmuje stale wartości nieujemne. Ponadto zachodzi
$$f(x+y)\geq f(x) + f(y)$$
dla wszystkich $x,y\in\mathbb{R}$.\\
Udowodnić, że $f(x) = 0$ dla wszystkich $x\in\mathbb{R}$.
\source{Koło PTM}
 
\item \level{3} Sześcian $S$ o krawędzi $2$ jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. \emph{Klockiem} nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu $S$ jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian $T$ o krawędzi $2^n$ jest zbudowany z $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych. Udowodnić, że po usunięciu z sześcianu $T$ dowolnego spośród $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.
\source{L OM - 2. etap}
 
\item \level{1} Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $p$, takie, że również liczby $p+2$ i $p^2 + 2p + 4$ są pierwsze.
\source{Koło PTM}
 
\item \level{2} Na płaszczyźnie ustalono dowolnie punkt $A$ i okrąg $o$. Następnie wybrano punkt $B$ leżący na okręgu $o$ i punkt $C$ taki, że $BC$ jest średnicą $o$. Udowodnić, że liczba $|AB|^2 + |AC|^2$ nie zależy od wyboru punktu $B$.
\source{own}
 
\item \level{3} Niech $ABCD$ będzie równoległobokiem, $Q$ będzie środkiem odcinka $AD$, zaś $F$ będzie rzutem $B$ na $CQ$. Udowodnić, że
$$|AB| = |AF|$$\source{Mathlinks}
 
\item Karol i Ola, znudzeni wykładami Yogiego, poszli do sadu. Zebrali $n$ czerwonych i $m$ zielonych jabłek. Oczywiście czerwonych było więcej, gdyż każdy wie, że są lepsze. Pani Bujnowska piecze z nich ciasto takie, że :* jedno jabłko starcza tylko na jeden kawałek. Karol jest wielkim łakomczuchem, jednak nie lubi zielonych jabłek. Chce więc zjeść tyle kawałków, żeby mieć pewność, że co najmniej połowa z nich będzie zrobiona z czerwonych jabłek, ale nie chce się przejeść (zje minimalną liczbę kawałków spełniającą jego wymagania). Ile kawałków ciasta zostanie dla Oli?\\
* Jeden kawałek zawiera dokładnie 1 całe jabłko, albo zielone albo czerwone.
 
\item W trójkącie $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, kąt przy podstawie ma miarę $75\deg$. Udowodnij, że podstawa trójkąta ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na $ABC$.
 
\item Liczby dodatnie $a, b, c$ spełniają $a+b+c=1$. Udowodnij, że
$$ab + bc + ca \geq 9abc$$
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Grupa olimpijska}
\begin{enumerate}
\item \level{1} Liczby dodatnie $a,b,c,d$ spełniają $abcd=1$. Udowodnić, że
$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd \geq 10$$\source{Mathlinks}
%na chama
 
\item \level{2} Rozstrzygnąć, czy istnieje czworościan, którego wszystkie ściany są przystające, ale nie jest on foremny.\source{known}
 
\item \level{2-3} Udowodnij, że:
  \begin{enumerate}
  \item Istnieje takie $n\in\mathbb{N}$, że wśród liczb $\{n,n+1,n+2,\dots, n+2009\}$ nie ma liczby pierwszej,
  \item Istnieje takie $n\in\mathbb{N}$, że wśród liczb $\{n,n+1,n+2,\dots, n+2009\}$ jest dokładnie 10 liczb pierwszych.
  \end{enumerate}\source{Mathlinks}
%ciaglosc
 
\item \level{1} Dane są liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ takie, że $a_i\in \{1,-1\}$ dla $i=1,2,\dots,n$. Ponadto wiemy, że
$$a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_{n-1}a_n + a_na_1 = 0$$
Udowodnić, że $n$ jest podzielne przez $4$.\source{Koło PTM}
 
\item \level{1} Niech $O_1,O_2$ będą okręgami przecinającymi się w dwóch różnych puntkach $M,N$. Niech styczne do okręgów $O_1,O_2$ w $M$ przecinają $O_2$ w $B$, $O_1$ w $A$ odpowiednio. Niech $AN$ przecina $O_2$ w $C$, zaś $BN$ przecina $O_1$ w $D$. Udowodnić, że
$$|AC| = |BD|$$\source{Mathlinks}
%katy
 
\item \level{2} Danych mamy ciąg $101$ liczb rzeczywistych. Udowodnić, że można z niego wyjąć $11$-wyrazowy podciąg niemalejący, lub $11$-wyrazowy podciąg nierosnący.\source{olimpiada radziecka}
 
\end{enumerate}
\paragraph{Zadania z czwartku}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{6}
 
\item Rozpatrujemy wszystkie trapezy $ABCD$, o podstawach $AB$ i $CD$, dla których
$$|AC| = 1,\ \ |BD| = \sqrt{3} \hbox{ oraz } \angle ABD = 30\deg$$
Wyznacz najmniejszą możliwą sumę długości podstaw tego trapezu.\source{Zwardoń}
 
\item Wyznaczyć największy możliwy iloczyn liczb całkowitych dodatnich o sumie równej $2009$.\source{Zwardoń}
 
\item Baran i Kaczor grają w następującą grę. Na początku na tablicy napisana jest liczba całkowita dodatnia $n$. W jednym ruchu gracz odejmuje od w napisanej w danym momencie na tablicy liczby jej dzielnik będący jedynką, liczbą pierwszą, lub iloczynem dwóch (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych i wynikiem odejmowania zastępuje wcześniejszą liczbę. Pierwszy ruch wykonuje Baran, a następnie gracze wykonują ruchy na przemian. Wygrywa gracz, który napisze na tablicy liczbę $0$. Rozstrzygnąć, dla jakich liczb $n$ Baran może zapewnić sobie wygraną, niezależnie od ruchów Kozła.
%  \begin{enumerate}
%  \item Teza: Wygraną można zapewnić dla liczb niepodzielnych przez $8$.
%  \item Indukcja po $n$.
%  \item Osiem przypadków $\rightarrow$ udowodnić, że z podzielnej przez $8$ można przejść tylko do niepodzielnej, a z niepodzielnej można zawsze przejść do podzielnej.
%  \end{enumerate}\source{Zwardoń}
\end{enumerate}
 
\subsection{Zadania trudniejsze dla początkujących (fregaty)}
\begin{enumerate}
\item  Niech $a,b$ będą liczbami rzeczywistymi. Udowodnij, że
$$a^2 + b^2 + 1 \geq ab + a + b$$
\source{Mathlinks}
 
\item  Trójkąt $\triangle ABC$ jest wpisany w okrąg $o$. Niech $I$ oznacza środek okręgu wpisanego w $\triangle ABC$, a $D$ będzie punktem przecięcia dwusiecznej kąta $\angle BAC$ z $o$ innym niż $A$. Udowodnić, że $D$ jest środkiem okręgu opisanego na $\triangle BCI$.
\source{known}
 
\item  Ile jest różnych tablic $m\times n$ wypełnionych liczbami ze zbioru $\{1,-1\}$ w taki sposób, że iloczyn liczb w każdej kolumnie i w każdym wierszu wynosi $-1$?
\source{Mathlinks}
 
\item  W trójkąt $ABC$ wpisano okrąg, tak, że jest on styczny do boku $AB$ w punkcie $D$. Udowodnić, że okręgi wpisane w trójkąty $ADC$ i $BDC$ mają punkt wspólny.
\source{known}
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Zadania trudniejsze dla olimpijczyków (pancerniki)}
 
\begin{enumerate}
\item  Na obozie naukowym w Serwach uczestnicy rozwiązywać będą $2008$ zadań. Na obóz ten kompletowana jest kadra. Powiemy, że osoba $A$ jest \emph{niegłupsza} od osoby $B$, jeżeli $A$ potrafi rozwiązać wszystkie te zadania, które potrafi rozwiązać $B$. Powiemy, że osoba $C$ jest w kadrze \emph{zbędna}, jeżeli istnieje w kadrze inna osoba, która jest niegłupsza od $C$. Z ilu maksymalnie osób może składać się kadra, jeżeli wiadomo, że nie zawiera ona zbędnych osób?
\source{own}
 
\item  Pokazać, że jeżeli $x,y,z$ są liczbami dodatnimi, to zachodzi:
$$\frac{\sqrt{y+z}}{x} + \frac{\sqrt{x+z}}{y} +\frac{\sqrt{x+y}}{z} \geq \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{x+y+z}}$$
\source{Staszic}
 
\item Okrąg o środku w $I$ jest wpisany w trójkąt $\triangle ABC$ i jest styczny do $AB, BC, CA$ w $L, N, K$ odpowiednio. Punkt $M$ jest środkiem odcinka $AC$, zaś punkt $D$ leży na przecięciu $KI$ i $LN$. Udowodnić, że punkty $B, D, M$ są współliniowe.\\
%\emph{Wskazówka: Użyj teorii środka masy}
\source{Mathlinks}
 
\item  Wykazać, że jeżeli $a>3$ jest liczbą całkowitą nieparzystą, to dla dowolnej liczby naturalnej $n$, liczba
$$a^{2^n} - 1$$
ma co przynajmniej $n+1$ różnych dzielników pierwszych.
\source{Koło PTM}
 
\end{enumerate}
 
 
\section{Mecz matematyczny}
\begin{enumerate}
 
\item \level{2-3} Liczby dodatnie $a,b,c$ spełniają $abc=1$. Udowodnij, że
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq a + b + c$$\source{?}
%podstawienie a=x/y
 
\item \level{2-3} Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \leq \frac{3}{2}\frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab+bc+ca}$$\source{Mathlinks}
%dodawanie 1 do stron
 
 
%\item \level{2} Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$, w którym $AB$ jest krótsze od pozostałych boków. Punkt $D$ leży na boku $AC$ i spełnia $|DA| = |AB|$. Punkt $F$ jest taki, że $ADFB$ jest rombem, zaś $K$ oznacza punkt przecięcia $DF$ z $BC$. Obliczyć $\displaystyle{\frac{CK}{BK}}$.\source{own}
 
\item \level{3} W kąt o wierzchołku $X$ wpisano okręgi $o_1,o_2$.  Okrąg $s$ jest styczny zewnętrznie do $o_1$ w $A$ i do $o_2$ w $B$. Udowodnić, że punkty $A,B,X$ są współliniowe. Czy założenie, że $s$ jest styczny \emph{zewnętrznie} jest potrzebne?\source{Staszic}
%jednokladnosc
 
\item \level{2} Okrąg o środku w $O$ został podzielony przez $n>2$ średnic na $2n$ przystających fragmentów. Pokazać, że rzuty dowolnego punktu $M\neq O$ należącego do wnętrza okręgu na te średnice są wierzchołkami $n$ kąta foremnego.\source{Staszic}
 
\item \level{2} Każdy punkt płaszczyzny jest pokolorowany jednym z dwóch kolorów. Udowodnić, że istnieje trójkąt równoboczny, którego wierzchołki są jednego koloru.\source{Mathlinks}
%palowanie
 
\item \level{1} $2009$ uczestników obozu naukowego stoi w serwerowni. Odległości pomiędzy każdymi dwoma z nich są różne. Każdy z nich ma jedną piłkę. Jednocześnie rzucają oni piłki, każdy najbliżej stojącemu uczestnikowi. Udowodnić, że żaden uczestnik nie dostanie więcej niż $5$ piłek.\source{Mathlinks}
 
\item \level{2} Mamy daną tablicę $n\times n$, której każde pole jest pokolorowane. Wiadomo, że żadne dwa rzędy nie są pokolorowane jednakowo. Udowodnić, że można wykreślić pewną kolumnę tak, że nadal żadne dwa rzędy nie będą pokolorowane jednakowo.\source{Mathlinks}
 
\item \level{1} Niech $M$ będzie liczbą całkowitą parzystą, $a_0,a_1,a_2,\dots,a_{M-1}$ będą liczbami całkowitymi dającymi parami różne reszty z dzielenia przez $M$, a $c_i = a_i + i$ dla $i=0,1,2,\dots,M-1$. Udowodnij, że istnieją takie $i\neq j$ całkowite, że $c_i \equiv c_j \mod M$.\source{Mathlinks}
 
\item \level{2} Wielomian $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$ jest taki, że $a_i\in \{-1,1\}$. Udowodnić, że nie ma on pierwiatków zawartych w $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.\source{known}
 
\item \level{2} Niech $p$ będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Niech
$$\frac{k}{l} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{p-1}$$
gdzie $k,l$ są całkowite. Udowodnić, że $p|k$.\source{known}
 
\end{enumerate}
 
\section{Wykłady}
 
\subsection{Okręgi i potęga punktu}
 
\paragraph{Teoria}
\begin{enumerate}
\item \emph{Kąt środkowy} w okręgu to kąt, którego wierzchołkiem jest środek danego okręgu.
\item \emph{Kąt wpisany} w okrąg to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona zawierają cięciwy. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
\item \begin{thm} Jeżeli kąt środkowy i wpisany oparte są na tym samym łuku, to kąt środkowy ma miarę dwukrotnie większą, niż kąt wpisany.\end{thm}
\item \begin{thm} Kąt pomiędzy cięciwą i styczną przechodzącą przez koniec tej cięciwy równy jest połowie kąta środkowego opartego na tej cięciwie.\end{thm}
\item \begin{defn}Niech będzie dany okrąg $o$ o środku w $O$ i promieniu $r$ oraz punkt $A$. Niech prosta $k$ przechodzi przez punkt $A$ i przecina okrąg $o$ w punktach $B$ i $C$. Wtedy potęgą punktu $A$ względem okręgu $o$ nazywamy iloczyn $|AB| \cdot |AC|$, jeżeli punkt $A$ leży na zewnątrz okręgu i $-|AB| \cdot |AC|$, jeżeli leży on wewnątrz. Iloczyn ten jest niezależny od wyboru prostej $k$. Potęga punktu $A$ jest też równa
$$|AO|^2 - r^2$$
\end{defn}
\end{enumerate}
\paragraph{Zadania}
\begin{enumerate}
\item Trapez $ABCD$, w którym $AB || CD$ oraz $\angle BCA = 90\deg$ wpisano w okrąg o promieniu $r$. Punkt $S$ jest środkiem podstawy $AB$. Udowodnić, że $|SD| = r$.
 
\item Trójkąt $ABC$ jest opisany na okręgu. Punkty $K ,L, M$ są punktami styczności okręgu do boków $AB, BC, CA$ odpowiednio. Wiedząc, że $\angle KML = 40\deg$ i $\angle MKL= 60\deg$, wyznacz kąty w trójkącie $ABC$.
 
\item Trapez $ABCD$, w którym $AB || CD$ oraz $\angle ABC = \alpha$, wpisano w okrąg o środku w $S$. Wiedząc, że $\angle BAS = \beta$, znajdź $\angle DSC$.
 
\item W trójkącie $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, kąt przy podstawie ma miarę $75\deg$. Udowodnij, że podstawa trójkąta ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na $ABC$.
 
\item Używając oznaczeń z punktu piątego teorii, udowodnij, dla punktu $A$ leżącego na zewnątrz $o$, że iloczyn $|AB| \cdot |AC|$ jest niezależny od wyboru prostej.
 
\item Wykaż, że jeżeli odcinki $AB$ i $CD$ przecinają się w $E$ i zachodzi $|AE| \cdot |BE| = |CE| \cdot |DE|$, to punkty $A, B, C, D$ leżą na jednym okręgu.
 
\item Punkty $E, F$ leżą na bokach $AC, AB$ trójkąta $ABC$ odpowiednio. Odcinki $BE$ i $CF$ przecinają się w $M$ i zachodzi $|MB| \cdot |ME| = |MC| \cdot |MF|$. Udowodnij, że zachodzi $|AE| \cdot |AC| = |AF| \cdot |AB|$.
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Warunki w nierównościach}
 
\begin{enumerate}
\item Liczby dodatnie $a,b$ spełniają $a+b = 1$. Udowodnić, że
$$a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} \hbox{ oraz } \sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$$\source{known}
 
\item Liczby rzeczywiste $a,b,c$ spełniają $a^2 + b^2 + c^2 = 1$. Udowodnić, że
$$-\frac{1}{2} \leq ab + bc + ca \leq 1$$\source{known}
 
\item Udowodnić, że jeżeli $a,b,c$ są długościami boków trójkąta, to
$$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{a+c-b} + \frac{c}{a+b-c}\geq 3$$\source{known}
 
\item Niech $a,b,c$ będą dodatnie i $abc=1$. Udowodnij, że
$$ab+bc+ca \geq 3$$\source{known}
 
\item Liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ są dodatnie i takie, że $a_1a_2\dots a_n =1$. Udowodnij, że
$$(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)\geq 2^n$$\source{Koło PTMu}
 
\item * Niech $a,b$ będą liczbami dodatnimi, takimi, że $a+b = 1$. Udowodnić, że
$$\frac{a^2}{a+1} + \frac{b^2}{b+1} \geq \frac{1}{3}$$\source{Jungary 1996, Hoojoo Lee}
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Zasada szulfadkowa Dirichleta}
 
\paragraph{Teoria}
\begin{thm}{Zasada szufladkowa Dirichleta} Jeżeli $n+1$ przedmiotów wkładamy do $n$ szufladek, to w przynajmniej jednej szufladce będą przynajmniej $2$ przedmioty.\end{thm}
\paragraph{Zadania}
\begin{enumerate}
\item Mamy $25$ jabłek, każde w jednym z $4$ gatunków. Udowodnić, że można wybrać z nich $7$
jabłek jednego gatunku.
 
\item Udowodnić, że wśród $50$ osób pewne $8$ urodziło się w tym samym dniu tygodnia.
 
\item Zakładając, że człowiek może mieć na głowie maksymalnie $150$ tysięcy włosów wykazać, że w Białystoku ($294$ tysiące mieszkańców) pewne $2$ osoby mają tyle samo włosów na głowie.
 
\item W pokoju znajduje się $6$ osób. Pewne osoby znają się ze sobą. Wykazać, że wśród tych sześciu osób są dwie o tej samej liczbie znajomych.
 
\item Wykazac, że w zbiorze $n+1$ liczb całkowitych istnieją dwie, których różnica jest podzielna przez $n$.
 
\item Przy okrągłym stole ma usiąść $2009$ ambasadorów. Na stole poustawiano proporczyki z nazwiskami, a następnie posadzono przy stole ambasadorów, ale tak, że żaden nie siedział na swoim miejscu. Udowodnić, że można tak obrócić stół, żeby przynajmniej $2$ ambasadorów siedziało na swoich miejscach.
 
\item Wykazać, że wśród naturalnych potęg $7$ istnieje taka, której zapis dziesiętny kończy się na $01$.
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Klasyfikacja trójek pitagorejskich}
 
\begin{lem}
Jeżeli liczby całkowite $a,b,c$ spełniają
$$a^2 + b^2 = c^2$$
to co najmniej jedna z liczb $a,b$ jest parzysta.
\end{lem}
Dowód: \comment{przez kongruencje mod 4}
 
\begin{lem}
Jeżeli liczby $a,b,w,n$ są całkowite dodatnie, $NWD(a,b)=1$ oraz
$$ab=w^n$$
to $a,b$ są $n$-tymi potęgami liczb całkowitych, innymi słowy istnieją takie $t,u$ całkowite dodatnie, że
$$a=t^n,\ b=u^n$$
\end{lem}
Dowód: \comment{przez rozkład na czynniki pierwsze}
 
\begin{thm}
Liczby całkowite dodatnie $a,b,c$ względnie pierwsze spełniają równanie
$$a^2 + b^2 = c^2$$
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie $m>n$ całkowite dodatnie, że
$$a=m^2 - n^2,\ b=2mn,\ c=m^2+n^2$$
$$\hbox{ lub }$$
$$a=2mn,\ b=m^2 - n^2,\ c=m^2+n^2$$
\end{thm}
\begin{enumerate}
\item $\Leftarrow$ Po pierwsze, jeżeli $m,n$ z treści zadania istnieją to $a,b,c$ są całkowite dodatnie i zachodzi
$$a^2 + b^2 = (m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2 = c^2$$
To kończy dowód implikacji w lewo \comment{,,wtedy''}.
\item $\Rightarrow$. Załóżmy, że $a,b,c\in\mathbb{Z}_+$ spełniają $a^2+b^2=c^2$.
\item Liczby $a,b,c$ są względnie pierwsze \comment{czyli $NWD(a,b,c)=1$}, a więc dowolne 2 z liczb $a,b,c$ są również względnie pierwsze. Faktycznie, załóżmy \comment{rozumowanie przez zaprzeczenie} $NWD(a,b)>1$. Istnieje wtedy liczba pierwsza $p$, taka, że
$$p|NWD(a,b)$$
czyli $p|a$ i $p|b$, a więc $p|a^2+b^2=c^2$, a skoro $p$ jest pierwsza, to $p|c$ i $p|NWD(a,b,c)=1$. Sprzeczność.
\item Skoro $a,b$ są względnie pierwsze, to przynajmniej jedna z nich jest nieparzysta. Z lematu wynika natomiast, że jedna z liczb $a,b$ musi być parzysta. Załóżmy, że $2\not|a$ \comment{ze względu na symetryczność założeń i tezy możemy to założyć, ewentualnie zmieniając kolejność $a,b$}.\\
Zauważmy, że $2\not| a$ i $2|b$, więc $2\not|c$ \comment{bo spełniają równanie}, czyli
$$2|c-a \hbox{ i } 2|c+a$$
Istnieją więc $k,l$ całkowite $c-a=2k$, $c+a=2l$.\\
Jest
$$b^2 = (c-a)(c+a) = 4kl$$
Skoro $2|b$ to możemy podstawić $b=2b'$, gdzie $b'\in\mathbb{Z}$:
$$b'^2 = kl$$
Mamy $NWD(k,l) = \frac{1}{2}NWD(c-a, c+a)=\frac{1}{2}NWD(c+a,2a)=\frac{1}{2}2=1$. \comment{1. brzydkie przejście wynika z podstawienia $k,l$ i z tego, że wiemy, że są one całkowite, 2. przejście wynika z algorytmu Euklidesa, 3. z tego, że $c-a$ i $a$ są względnie pierwsze}\\
\comment{$k,l$ są dość sztuczne, ale bardzo nie chciałbym operować ułamkami $\frac{c-a}{2},\frac{c+a}{2}$ które się za nimi kryją}
Z lematu wiemy więc, że dla pewnych $n,m$ jest
$$k=n^2 \hbox{ i } l=m^2$$
Jest więc
$$b^2 = 4kl = 4m^2n^2 \hbox{ stąd } b=2mn$$
$$2a = (c+a)-(c-a) = 2m^2 - 2n^2 \hbox{ stąd } a=m^2 - n^2$$
$$2c = (c+a)+(c-a) = 2m^2 + 2n^2 \hbox{ stąd } c=m^2 + n^2$$
Oczywiście $m>n$, gdyż $0 < a=m^2-n^2$. Dowód $\Rightarrow$ jest więc zakończony.
\item Podany dowód klasyfikuje w zasadzie wszystkie trójki pitagorejskie, gdyż każda taka trójka powstaje przez pomnożenie trójki pitagorejskiej złożonej z liczb względnie pierwszych przez jakiś mnożnik.
\item Próba podsumowania - dlaczego właśnie tak dowodziliśmy?\\
Poniższe rozumowanie NIE ma nic wspólnego z dowodzeniem, jest to tylko spekulacja, którą przekuć można w dowód.
\emph{Jeżeli teza jest prawdziwa}, to z tezy możemy wyliczyć $2m^2 = a+c$ i $2n^2 = a-c$, pozostaje więc udowodnić, że ułamki $\frac{c+a}{2},\frac{c-a}{2}$ są całkowite i są kwadratami liczb całkowitych. Tak właśnie przebiega dowód.
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Pewne techniki rozwiązywania nierówności}
 
\begin{enumerate}
\item Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
$$\frac{\sqrt{a^2bc} + \sqrt{ab^2c} + \sqrt{abc^2} + (a+b+c)^2}{\sqrt{a+b+c}\sqrt{abc}} \geq 4\sqrt{3}$$\source{Koło PTMu - 6 młodsi grudzień 2006}
%odp. grupowanie
 
\item Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b$ zachodzi
$$\frac{a^2+b^2}{ab} + \frac{ab}{a^2 + b^2} \geq \frac{5}{2}$$\source{Zadania przygotowawcze do konkursu PTM}
%odp. grupowanie
 
\item * Niech $a,b,c$ będą liczbami dodatnimi, takimi, że $abc=1$. Pokazać, że
$$\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{3}{2}$$\source{IMO 1995}
%warunek + jednomono + szacowanie na chama
 
\item Niech $a,b$ będą liczbami dodatnimi, takimi, że $a+b = 1$. Udowodnić, że
$$\frac{a^2}{a+1} + \frac{b^2}{b+1} \geq \frac{1}{3}$$\source{Jungary 1996, Hoojoo Lee}
%comment: można też z Jensena
%przyblizenie wymierne
 
\item Wykazać, że dla liczb dodatnich $a,b,c,d$ zachodzi nierówność
$$\frac{a^4}{a^3 + a^2b + b^3} + \frac{b^4}{b^3 + b^2c + c^3} + \frac{c^4}{c^3 + c^2d + d^3} + \frac{d^4}{d^3 + d^2a + a^3} \geq \frac{a+b+c+d}{3}$$\source{Staszic}
%przyblizenie wymierne
 
\item Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność Nesbitta
$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$$\source{known}
%dodawanie stałej
 
\item Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
$$\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} \geq 4\left(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}\right)$$\source{Pawłowski}
%odp. grupowanie
 
\item Niech $n>3$ będzie liczbą naturalną, a liczby $x_1,x_2,\dots,x_n$ będą dodatnie. Udowodnij, że
$$\sum_{i=1}^n \frac{x_i + x_{i+3}}{x_{i+1} + x_{i+2}} \geq n$$
gdzie suma jest cykliczna, tj. $x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2, x_{n+3} = x_3$.\source{OM}
%dodawanie stałej
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Równania funkcyjne}
 
\begin{enumerate}
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ spełniające
$$f(x+y) = f(x^2) + f(y^2)$$\source{Warsztaty ILO 2005}
 
\item Funkcja $f$, określona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $0$, przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste różne od $1$. Ponadto
$$f(xy) = f(x)f(-y) - f(x) + f(y)$$
dla dowolnych $x,y\neq 0$, oraz
$$f(f(x)) = \frac{1}{f(\frac{1}{x})}$$
dla każdego $x\notin \{0,1\}$. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$.
\source{Baltic Way 2007}
 
\item Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$, określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmujące wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi równość
$$f(f(x) - y) = f(x) + f(f(y) - f(-x)) + x$$\source{LIX OM, etap 2.}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ takie, że
$$x^2f(x) + f(1-x) = 2x - x^4$$
dla wszystkich $x\in \mathbb{R}$.\source{Excalibur}
 
\item Znajdź wszystkie funkcje $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ spełniające równanie
$$f(x+y) = f(x) + f(y)$$
dla wszystkich $x,y\in \mathbb{Q}$.\source{Excalibur}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ spełniające równanie
$$f(x - f(y)) = 1 - x - y$$\source{V LO w Krakowie}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ różnowartościowe oraz spełniające równanie
$$f(f(x) + y) = f(x + y) + 1$$\source{V LO w Krakowie}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ spełniające równanie
$$f(x+y) - f(x-y) = 4xy$$\source{własne}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ spełniające równanie
$$(x-y)f(x+y) + (x+y)f(x-y) = 4xy(x^2 - y^2)$$\source{V LO w Krakowie}
 
\item Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\backslash\{0,1\}\rightarrow \mathbb{R}$ spełniające dla $x\in \mathbb{R}\backslash\{0,1\}$ zależność
$$f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x$$\source{Koło PTM}
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Miejsca geometryczne}
 
\begin{enumerate}
\item O podłogę i prostopadłą do niej ścianę stoi oparta drabina. Nóżki drabiny przesuwają się po podłodze (bez poślizgu) prostopadle do ściany i drabina obsuwa się. Na środku drabiny siedzi kotek (którego traktujemy jako punkt). Udowodnić, że w miarę opadania drabiny kotek zakreśli w przestrzeni łuk okręgu.
\source{Koło PTM}
 
\item \emph{Miejsce geometryczne} -- w geometrii zbiór punktów spełniających zadany warunek, np. pewna kula może być zdefiniowana jako miejsce geometryczne punktów odległych nie bardziej niż o $r$ od środka układu współrzędnych.
\source{wikipedia}
 
\item Na płaszczyźnie dane są punkty $A,B$. Udowodnić, że miejscem geometrycznym punktów płaszczyzny równoodległych od $A,B$ jest prosta prostopadła do odcinka $AB$ i przechodząca przez jego środek.
\comment{I stąd wynika jednoznaczność okręgu opisanego na trójkącie}
\source{known}
 
\item W przestrzeni dane są punkty $A,B$. Udowodnić, że miejscem geometrycznym punktów przestrzeni trójwymiarowej równoodległych od $A,B$ jest płaszczyzna prostopadła do odcinka $AB$ i przechodząca przez jego środek.
\comment{I stąd wynika jednoznaczność sfery opisanej na czworościanie}
\source{known}
 
\item Na płaszczyźnie dany jest trójkąt $ABC$. Udowodnić, że zbiorem punktów równoodległych od prostych $AC$ i $BC$ jest para prostych prostopadłych, przecinających się w $C$. Jak jest w przypadku przestrzennym? \comment{I stąd okrąg wpisany w trójkąt i dopisany do trójkąta}
\source{known}
 
\item \emph{Okrąg Apoloniusza} Na płaszczyźnie dane są różne punkty $A,B$ oraz liczba dodatnia $k$. Udowodnić, że zbiór punktów $X$ płaszczyzny, spełniających
$$\frac{AX}{BX} = k$$
jest
\begin{itemize}
\item okręgiem, jeżeli $k\neq 1$,
\item symetralną $AB$, jeżeli $k=1$.
\end{itemize}
\source{known}
 
\item Niech $o$ będzie okręgiem Apoloniusza dla danych $A,B,k\neq 1$ przy czym punkt $A$ leży na zewnątrz $o$. Z punktu $A$ poprowadzono styczne $AP,AQ$ do okręgu $o$. Udowodnić, że $B$ jest środkiem odcinka $PQ$.
\source{Prasolow}
 
\item W czworokącie $ABCD$ miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku $A$ jest większa od $180\deg$ oraz zachodzi równość
$$AB \cdot CD = AD \cdot BC$$
Punkt $P$ jest symetryczny do punktu $A$ względem prostej $BD$. Udowodnić, że $\angle PCB = \angle ACD$.
\source{LVII OM}
 
\item * Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $AB$ i $CD$ nie są równoległe. Niech $\mathcal{X}$ będzie zbiorem punktów $X$ takich, że $[XAB] + [XCD] = \frac{1}{2}[ABCD]$, gdzie $[\mathcal{Y}]$ oznacza pole figury $\mathcal{Y}$. Znaleźć $\mathcal{X}$.
\source{Prasolow}
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Metoda ekstremum}
 
\begin{enumerate}
\item Materiały wzięte z \url{http://www.mimuw.edu.pl/~sem/konferencja-kmp2008/materialy/guzicki.pdf} (9 zadań)
\end{enumerate}
 
\subsection{Kurs trudnego udowadniania liniowości układów :)}
\begin{enumerate}
\item Materiały na \url{http://21wdw.staszic.waw.pl/ktulu/}
\end{enumerate}
 
\newpage
 
\begin{thebibliography}{}
\bibitem{} Baltic Way 2007 \url{http://www.balticway07.dk/}
\bibitem{} Hojoo Lee ,,Topics In Inequalities'' \url{http://compactorange.googlepages.com/tin2006new.pdf}
\bibitem{} International Mathematical Olympiad \url{http://www.imo-official.org/}
\bibitem{} Koło matematyczne Podlaskiego Oddziału PTM \url{http://www.ptm.pb.bialystok.pl}
\bibitem{} Koło matematyczne V LO w Krakowie
\bibitem{} Koło matematyczne XIV LO im. Staszica w Warszawie \url{http://wm.staszic.waw.pl/}
\bibitem{} Obóz matematyczny OM w Zwardoniu \url{http://www.om.edu.pl/}
\bibitem{} Olimpiada Matematyczna \url{http://www.om.edu.pl/}
\bibitem{} Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów \url{http://www.omg.edu.pl/}
\bibitem{} Mathematical Excalibur \url{http://www.math.ust.hk/excalibur/}
\bibitem{} Podlaski Konkurs Matematyczny \url{http://www.ptm.pb.bialystok.pl}
\bibitem{} Portal Mathlinks \url{http://www.mathlinks.ro/}
\bibitem{} V. V. Prasolov ,,Plane Geometry'' %\url{http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf}
 
\end{thebibliography}
 
\flushright \footnotesize Sporządził Joachim Jelisiejew v1.1
 
\newpage
$ $
 
\end{document}