Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\def\rozw{\\ \textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\title{Eliminacje do PTM}
\date{}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Udowodnić, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, to
$$2|\binom{2n}{n}$$
 
\item Wyznaczyć ilość piątek liczb $(a,b,c,d,e)$ liczb całkowitych dodatnich, spełniających nierówność
$$a+b+c+d+e\leq 2009$$
Uwaga: Pomyłki numeryczne przy obliczaniu wyniku nie będą mocno karane, ale trzeba uzyskać liczbowy wynik.
 
\item Udowodnić, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
$$6abc\leq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
 
\item Niech $ABCD$ będzie trapezem, w którym $AD||BC$ i $|AB|=|CD|$, wpisanym w okrąg $o$. Niech $M$ będzie środkiem boku $AD$, zaś $E$ będzie punktem przecięcia prostej $BM$ z okręgiem $o$, innym niż $B$. Udowodnić:
\begin{enumerate}
\item $$\angle AMC=\angle AME$$
\item $$\frac{|MC|}{|AM|}=\frac{|AM|}{|ME|}$$
\end{enumerate}
Uwaga: Te dwa podpunkty liczą się osobno, więc jeżeli udowodniliście poprawnie jeden, a drugiego nie, to dostaniecie 2 pkt. Trudno jest jednak udowodnić b), nie udowadniając a).
\end{enumerate}
\end{document}