Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Zadania przygotował Mateusz Jocz

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{Nierówności wynikające ze średnich}
\date{}
\maketitle
\paragraph{Teoria}
\begin{enumerate}
 
\item Nierówności między średnimi dla dwóch liczb: Jeśli $a,b>0$, to
\[\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\]
 
\item Ważne nierówności wynikające ze średnich (dla $a,b>0$):
\begin{enumerate}
  \item $a+b\geq 2\sqrt{ab}$
  \item $a+1\geq 2\sqrt{a}$
  \item $a+\frac{1}{4}\geq \sqrt{a}$
  \item $a+\frac{1}{a}\geq 2$
  \item $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$
  \item $2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\geq 4ab$
  \item $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}} \geq \frac{4}{a+b}$
 
\end{enumerate}
\item Nierówności między średnimi dla większej ilości liczb: Jeżeli liczby $a_1,a_2\cdots,a_n$ są dodatnie, to \[\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\leq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\leq \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}\]
 
\end{enumerate}
 
\paragraph{Zadania}
\begin{enumerate}
 
\item Udowodnić, że jeżeli $a,b$ są liczbami dodatnimi takimi, że $a+b=1$, to zachodzi nierówność: \[(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{25}{2}\]
 
\item Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb $a,b$ zachodzi nierówność: \[(a+b)^4\geq 8ab(a^2+b^2)\]
 
\item Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb $a,b,c$ zachodzi nierówność: \[(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\]
 
\item Udowodnić, że dla $a,b\in\mathbb{R}$ jest \[4b^2+a^2\geq 4ab\]
 
\item Wykazać, że dla dodatnich liczb $a,b$, takich, że $ab=4$, prawdziwa jest nierówność: \[\frac{(a+1)^3}{b+1}+\frac{(b+1)^3}{a+1}\geq 18\]
 
\item Udowodnić, że jeżeli $a,b,c$ są liczbami dodatnimi spełniającymi warunek $abc(a+b+c)=1$, to prawdziwa jest nierówność: \[(a+b)(a+c) \geq 2\]
 
\item Udowodnić, że dla dowolnych liczb nieujemnych $a,b$ zachodzi nierówność: \[\frac{1}{2}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a+b)\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\]
 
\item Wykazać, że dla nieujemnych $a,b,c$ prawdziwa jest nierówność: \[2(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab})\leq 3(\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc})\]
 
\item Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność:
\begin{enumerate}
  \item  \[\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a} \geq \frac{9}{a+b+c}\]
  \item \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}\]
\end{enumerate}
 
\item Wykazać, że dla $a,b\in\langle0;1\rangle$ prawdziwa jest nierówność: \[ab(1-a)(1-b)\leq \frac{1}{16}\]
 
\end{enumerate}
\end{document}