Definicje dotyczace zdaniowych logik modalnych

Formuy w zdaniowych logikach modalnych sa zbudowane ze zmiennych zdaniowych, klasycznych spójników, unarnych spójników modalnych $\Box$ i $\Diamond$, oraz nawiasów, w zwyky sposób.

Definicja Struktura Kripkego jest trójka $\langle W, \tau, R\rangle$, gdzie W jest niepustym zbiorem mozliwych swiatów, $\tau \in W$ jest aktualnym swiatem, a R jest binarna relacja na W zwana relacja dostepnosci. Modelem Kripkego (w wersji zdaniowej) jest czwórka $\langle W, \tau, R, h\rangle$, gdzie $\langle W, \tau, R\rangle$ jest struktura Kripkego, h jest odwzorowaniem ze zbioru swiatów w zbiór zmiennych zdaniowych - h(w) jest zbiorem zmiennych zdaniowych prawdziwych w swiecie w.

Relacja spenialnosci jest zdefiniowana w zwyky sposób (zobacz Definicje 2.1.4).

Najprostsza zdaniowa logika modalna (zwana K) jest zaksjomatyzowana przez aksjomaty klasycznego rachunku zdan, regue odrywania, aksjomat zwany K : $\Box(\phi \to \psi) \to (\Box \phi \to \Box \psi)$, oraz regue koniecznosci

$$\frac{\vdash \phi}{\vdash \Box \phi}$$

Udowodniono, ze dowolna formua jest twierdzeniem w tym systemie wtw, gdy jest speniona w kazdym modelu Kripkego (bez zadnych ograniczen na R) [8]. Pewne aksjomaty dodawane do tego systemu odwzorowuja wasciwosci relacji dostepnosci.

Wiele takich powiazan jest definiowalnych formuami klasycznej logiki pierwszego rzedu, jak pokazano w Tablicy 1, gdzie R reprezentuje relacje dostepnosci. Rózne logiki modalne sa rozrózniane przez odpowiednie dodatkowe aksjomaty. Kilka z najbardziej popularnych logik modalnych razem z ich aksjomatami jest wymienionych w Tablicy 2. Wasciwosci relacji dostepnosci logiki modalnej L nazywamy ograniczeniami L-struktury.

Struktura Kripkego jest L-struktura jezeli jej relacja dostepnosci spenia wszystkie ograniczenia L-struktury. Model Kripkego M jest nazwany L-modelem jezeli jego struktura jest L-struktura. Mówimy, ze $\phi$ jest L-spenialna jezeli istnieje L-model dla $\phi$. Przez $\phi \models_L \psi$ oznaczamy, ze kazdy L-model formuy $\phi$ jest modelem formuy $\psi$.

Normalnymi logikami modalnymi sa logiki uzyskane przez dodawanie do logiki K nowych aksjomatów. Mówimy, ze logika modalna L jest normalnym rozszerzeniem logiki modalnej $\textit{L}\textrm{}'$ jezeli ograniczenia L'-struktury sa takze ograniczeniami L-struktury.

Mówimy, ze zbiory formu X i Y sa równo-spenialne w logice L jezeli oba sa albo L-spenialne albo nie L-spenialne.

 

Table 1: Aksjomaty i powiazane ograniczenia na R

Aksjomat	Schemat	Formu a pierwszego rzedu
D	$\Box \Phi \to \Diamond\Phi$	$\forall w\ \exists{{w}'}\ R(w,{{w}'})$
T	$\Box \Phi \to \Phi$	$\forall w\ R(w,w)$
B	$\Phi \to \Box\Diamond\Phi$	$\forall w,{{w}'}\ R(w,{{w}'}) \to R({{w}'},w)$
4	$\Box \Phi \to \Box\Box \Phi$	$\forall w,u,v\ R(w,u) \land R(u,v) \to R(w,v)$
5	$\Diamond\Phi \to \Box\Diamond\Phi$	$\forall w,u,v\ R(w,u) \land R(w,v) \to R(u,v)$

 

 

Table 2: Logiki modalne i ograniczenia na strukture

Logika	Aksjomaty	Ograniczenia na strukture
K	K	bez ograniczen
KD	KD	seryjnosc
T	KT	zwrotnosc
KB	KB	symetria
KDB	KDB	seryjnosc i symetria
B	KTB	zwrotnosc i symetria
K4	K4	przechodniosc
KD4	KD4	seryjnosc i przechodniosc
S4	KT4	zwrotnosc i przechodniosc
K5	K5	Euklidesowosc
KD5	KD5	seryjnosc i Euklidesowosc
K45	K45	przechodniosc i Euklidesowosc
KD45	KD45	seryjnosc, przechodniosc i Euklidesowosc
KB5	KB5	symetria i Euklidesowosc
S5	KT5	zwrotnosc i Euklidesowosc