Topologia Algebraiczna II (Semestr letni r. ak. 2015/16)

Wykład fakultatywny na Wydziale MIM UW

Prowadzący, miejsce i czas , Program , Pomocnik studenta - notatki i zadania , O topologii algebraicznej , Literatura i dowiązania

Prowadzący, miejsce i czas

Prowadzący:

·       Agnieszka Bojanowska Konsultacje: p. 4630,

·       Stefan Jackowski Konsultacje: p. 4590,

Miejsce i czas zajęć. Wydział MIM UW, ul.Banacha 2 (wejście od ul. Pasteura),
Wykład i ćwiczenia: środy, 14:15 – 17:45 s.4060

Program przedmiotu

·       Aksjomaty teorii (ko-)homologii na kategorii przestrzeni punktowanych. Długi ciąg dokładny (ko-)homologii; ciąg Meyera-Vietorisa. Uogólniony charakter Cherna.

·       Prespektra i wyznaczane przez nie teorie (ko-)homologii.

·       Przykłady: Klasyczna teoria kohomologii via przestrzenie Eilenberga - MacLane'a i stabilna teoria (ko-)homotopii. zespolona K-teoria.

·       Twierdzenie a la Whitehead o porównywaniu teorii (ko-)homologii dla CW-kompleksów. Obliczanie klasycznych teorii (ko-)homologii CW-kompleksów jako (ko-)homologii komórkowego kompleksu łańcuchowego. Jednoznaczność klasycznych (ko-)homologii o zadanych współczynnikach.

·       Obliczenia (ko-)homologii CW-kompleksów. Twierdzenie Hurewicza.

·       Elementy algebry homologicznej – kategoria kompleksów łańcuchowych.

·       (Ko-)homologie singularne i symplicjalne.

·       Metoda modeli acyklicznych.

·       Kohomologie de Rhama i tw. de Rhama o izomorfizmie z kohomologiami singularnymi. Kohomologie o zwartych nośnikach i tw. o dwoistości Poincare.

·       (Ko-)homologie produktu kartezjańskiego przestrzeni – tw. Eilenberga-Zilbera i struktury multyplikatywne w (ko-)homologiach. Tw. Kunnetha o (ko-)homologiach produktu tensorowego kompleksów (ko-)łańcuchowych.

·       Algebra kohomologii singularnych. Uogólniony niezmiennik Hopfa.

·       Orientowalność rozmaitości ze względu na teorię (ko-)homologii.

·       Twierdzenia o dwoistości homologii i kohomologii rozmaitości topologicznych.

·       Twierdzenia o rozcinaniu przestrzeni euklidesowych. Obliczenia algebr kohomologii znanych rozmaitości.

·       Klasyfikacja homotopijna jednospójnych zamkniętych rozmaitości 4-wymiarowych.

·       Twierdzenie Lefschetza o indeksach punktów stałych i jego uogólnienia.

Pomocnik studenta - notatki i zadania

Topologia Algebraiczna I – pomocnik studenta 

Metoda modeli acyklicznych 

 

Zadania  o zbiorach symplicjalnych

 

Kompleksy łańcuchowe

 

Kohomologie de Rhama

O topologii algebraicznej

Topologia algebraiczna jako wyodrębniony dział matematyki liczy niewiele ponad 100 lat. Polega na badaniu własności topologicznych przy pomocy metod algebraicznych, korzysta również z narzędzi analitycznych. Podstawowe pojęcia topologii algebraicznej - homotopii i homologii zostały wprowadzone przez wielkiego matematyka francuskiego Henri Poincare (1854-1912). Poincare uważał, że te idee odegrają fundamentalną rolę w teoriach matematycznych, nawet odległych od geometrii i topologii . Ta wizja sprawdziła się - wyniki i metody topologii algebraicznej wywarły ogromny wpływ na badania matematyczne w XX wieku w wielu dziedzinach. Doskonale ilustruje to lista wybranych matematyków, którzy przyczynili się do rozwoju idei topologii algebraicznej lub ich zastosowań (w nawiasach kraje, w których działali oraz lata najważniejszych prac z tej dziedziny oraz ew. informacja o otrzymaniu medalu Fieldsa):

James W. Alexander (USA, 13-36),
Salomon Lefschetz (USA, 20-33),
Heinz Hopf (D-CH, 26-45),
Karol Borsuk (PL, 31-37),
Lew Pontrjagin (RUS, 31-50),
Eduard Cech (CZ, 32-36),
Charles Ehresmann (F, 34-54),
Jean Leray (F, 35-50),
Witold Hurewicz (PL-NL, 35-55),
Hassler Whitney (USA, 35-57),
Norman E. Steenrod (USA, 36-62),
Hans Freudenthal (NL, 37-39),
Samuel Eilenberg (PL-USA, 39-66),
George De Rham (CH, 39-50),
John H.C. Whitehead (GB, 39-51),
Henri Cartan (F, 45-56),
Shiing-shen Chern (Chiny-USA, 46-57),
Rene Thom (F, 49-54, m. Fieldsa 1958),
Jean-Pierre Serre (F, 51-53, m. Fieldsa 1954),

Friedrich Hirzebruch (D, 53-56),
Raoul Bott (USA, 54-70),
John Milnor (USA, 56-70, m. Fieldsa 1962),
Alexander Grothendieck (F, 57, m. Fieldsa 1966),
J. Frank Adams (GB, 58-89),
Michael F. Atiyah (GB, 59-70, m. Fieldsa 1966),
Daniel Quillen (USA, m. Fieldsa 1978),
Dennis Sullivan (USA),
Stephen Smale (USA, m. Fieldsa 1966),
William Browder (USA),
Sergei P. Novikov (RUS, m. Fieldsa 1970),
Greame Segal (GB, 64-80),
Michael Freedman (USA, m. Fieldsa 1986),
Simon Donaldson (UK, m. Fieldsa 1986),
Vaughan Jones (USA, m. Fieldsa 1990),
Vladimir Drinfeld (RUS-USA, m. Fieldsa 1990),
Maxim Kontsevich (RUS-F, m. Fieldsa 1998),
Vladimir Voyevodsky (RUS-USA, m. Fieldsa 2002).
 

Literatura i dowiązania

·       A. Bojanowska, S. Jackowski  Topologia Algebraiczna I – pomocnik studenta   

·       A. Bojanowska, S. Jackowski Topologia 2

·       A. Bojanowska,  S.Jackowski   Strona domowa przedmiotu Topologia Algebraiczna I w roku akad 2015/16.

·       R. Bott, L.Tu Differential Forms in Algebraic Topology. Springer-Verlag

·       G. Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag, New York, 1993

·       J. Dieudonne A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960 Birkhaeuser 1989

·       Friedman, G  An elementary illustrated introduction to simplicial sets

·       Gelfand, S.I., Manin, Yu.I.  Methods of Homological Algebra. Springer Monographs in Mathematics  2002

·       M.J.Greenberg, J. Harper  Algebraic Topology. A First Course

·       A. Hatcher Algebraic Topology

·       J.P. May   A Concise Course in Algebraic Topology.

·       J. W. Milnor, Topologia z różniczkowego punktu widzenia (oryg. Topology from the differentiable viewpoint) PWN

·       E.H. Spanier Topologia Algebraiczna (oryg. Algebraic Topology)

 

Inne ciekawe teksty

·       M. F. Atiyah Mathematics in the 20th century

·       M.J. Hopkins Algebraic Topology and Modular Forms ICM 2002

Stefan Jackowski
Aktualizacja: 6.04. 2016

[Początek] [Prowadzący, miejsce i czas] [Tematy wykładów] [Zadania z ćwiczeń] [O topologii...] [Literatura...]