Projekt na zaliczenie laboratorium komputerowego
do wykładu z Obliczeń Naukowych
rok akademicki 1999/2000

Obliczenia naukowe często polegają na zbadaniu pewnego modelu matematycznego na potrzeby innego specjalisty. Rozważmy następujący układ dwóch nieliniowych równań zwyczajnych

$$\left\{ \begin{split} &u' = - u - \delta r^2 + 1\\ &r' = r(\delta u - 1) \end{split}\right.$$ (1)

z niewiadomymi u(t), r(t) i z warunkiem początkowym dla t=0. Liczba $\delta$ jest pewnym ustalonym parametrem. Ten układ wykazuje pewne podobieństwo do dużo bardziej skomplikowanego układu równań różniczkowych cząstkowych spotykanych w modelowaniu przepływu cieczy - tzw. równań Naviera-Stokesa, używanych na przykład w numerycznej prognozie pogody. Układ Naviera-Stokesa jest trudny do rozwiązania, dlatego warto badać jego uproszczoną postać, czyli układ (1). (Przypomnijmy, że również tzw. atraktor Lorenza jest rozwiązaniem silnie uproszczonych równań meteo.)

Poniżej znajduje się kilka zadań, służących zbadaniu układu (1). Państwa praca polega na wykonaniu tych poleceń, używając w tym celu w rozsądny sposób wiedzy matematycznej oraz systemów Octave oraz Vigie. Osoby żądne mocniejszych wrażeń mogą wybrać po konsultacji z prowadzącym inny pakiet obliczeń numerycznych i wizualizacji, ewentualnie napisać część projektu w języku Pascal, C, C++, Java lub Fortran.

Naturalnie, nasz model jest bardzo prosty i można byłoby badać go w inny sposób, na przykład na drodze czysto teoretycznej. Celem projektu jest zapoznanie Państwa z blaskami i cieniami numerycznego badania nawet niezbyt skomplikowanych zagadnień matematycznych oraz utrwalenie praktycznej umiejętności bezpiecznego posługiwania się pakietami numerycznymi.

Oto zadania do wykonania:

1.

Wizualizować pole wektorowe określone prawą stroną równania (1). Jak zmienia się jego charakter dla $1 \leq \delta\leq 9/7$? Zlokalizować wstępnie punkty stacjonarne dla $\delta = 9/7$ i $\delta = 1$.

2.

Określić przypuszczalny charakter (źródło, ściek, siodło) punktów stacjonarnych dla $\delta = 9/7$ i $\delta = 1$ na podstawie wektorów pola lub śledzenia przebiegu trajektorii.

3.

Opracować metodę szukania punktów stacjonarnych równania (1) przy zdefiniowanym przez użytkownika parametrze $\delta$, używającą

(a)

klasycznej metody Newtona

(b)

metody Newtona z pochodną aproksymowaną różnicami skończonymi

(obie metody mają być zaimplementowane). Użytkownik ma mieć możliwość zadania tolerancji względnej i bezwzględnej residuum, obejrzenia historii zbieżności, czasu działania i komunikatu o tym, czy metoda była zbieżna.

4.

Znaleźć (możliwie dokładnie) punkty stacjonarne układu (1) dla $\delta = 9/7$ i $\delta = 1$. Ile tych punktów jest? Dla obu przypadków, porównać szybkość zbieżności obu metod iteracyjnych i ich inne parametry.

Częścią rozwiązania jest dyskusja uzyskanych wyników oraz zastosowanych sposobów postępowania.

Uwaga. Powyżej przedstawiony projekt może być zastąpiony innym, zaproponowanym przez Państwa. Zachęcając do stawiania (i rozwiązywania!) własnych problemów, pragnę zaznaczyć, że taki projekt własny powinien zawierać dwie części (wizualizacja i rozwiązanie równania). Przed realizacją, Państwa propozycja powinna zostać zaakceptowana przez prowadzącego.

Problem można rozwiązywać w zespołach maksymalnie dwuosobowych, wtedy jedna osoba jest odpowiedzialna za zagadnienia wizualizacyjne, druga - za metody Newtona. Podczas sprawdzania, pytania dotyczące wizualizacji będą zadawane osobie odpowiedzialnej za metody Newtona i na odwrót.

Wszystkie kody komputerowe muszą działać w LABie studenckim.

Pracę należy oddać do 30.05.00.

Ta strona zostala stworzona na podstawie pliku w formacie LaTeX2e przy uzyciu konwertera Latex2HTML