Omówię pochodzący od Sherringtona i Kirkpatricka model szkła spinowego. Postaram się przedstawić udowodnione w ostatnich latach przez matematyków wyniki, precyzujące intuicje formułowane w dużo wcześniejszych, pochodzących od fizyków, pracach. Oczywiście, z uwagi na ograniczenia czasowe i własną niekompetencję, nie będę w stanie pokazać szczegółowych dowodów, ale spróbuję opowiedzieć o kilku głównych ideach za nimi stojących.

W.I. Arnold napisał kiedyś, że "wszyscy matematycy dobrze wiedzą, że nie da się zrozumieć żadnego elementarnego wykładu z podstaw termodynamiki". Pomimo tego spróbuję Państwu przybliżyć podstawy termodynamiki fenomenologicznej stanów równowagi, jednej z najpiękniejszych konstrukcji XIX-wiecznej fizyki, tym bardziej imponującej, że tworzonej zanim hipoteza molekularno-atomowej struktury materii została potwierdzona. Przedstawię kolejno: zasadnicze pojęcia termodynamiki, zasady termodynamiki oraz wprowadzę potencjały termodynamiczne.

Na wykładzie postaram się powiązać wprowadzone wcześniej pojęcia termodynamiczne z teorią mikroskopową. Powiązanie to uzyskuje się dzięki zastosowaniu opisu statystycznego do analizy zachowania układów dużej liczby atomów czy cząsteczek. W szczególności omówię pojęcie mikrostanu i makrostanu, związek liczby mikrostanów z entropią, oraz wprowadzę podstawowe zespoły statystyczne używane do opisu układów fizycznych.

Mechanika statystyczna opisuje w języku rachunku prawdopodobieństwa układy wielu oddziałujących cząstek. W jej ramach staramy się wyprowadzać makroskopowe zachowanie układów z mikroskopowych oddziaływań pomiędzy ich składnikami. W stanie równowagi układ minimalizuje swoją energię swobodną. Wyprowadzimy z tej zasady niezwykle ciekawe wnioski dotyczące spontanicznego łamania symetrii w ferromagnetykach i kwazikryształach. W czasie wykładów przedstawione zostaną podstawowe pojęcia takie jak entropia, energia swobodna, miary Gibbsa. Wprowadzony zostanie model Isinga opisujący przejścia fazowe w ferromagnetyku oraz model gazu sieciowego z nieokresowymi stanami podstawowymi. Motywem przewodnim wykładów będzie prezentacja wybranych problemów otwartych matematycznej mechaniki statystycznej układów równowagowych. Do wysłuchania i zrozumienia wykładów w zupełności wystarczy wiedza z dwóch pierwszych lat studiów. Wykorzystywać będziemy elementarny dyskretny rachunek prawdopodobieństwa.

Odkryty w początkach lat osiemdziesiątych wielomian Jonesa jest jednym z najważniejszych a zarazem najbardziej tajemniczych niezmienników węzłów. Co ciekawe, wielomian ten ma bardzo silne związki z fizyką. W czasie niezbyt długiego, bo 2-3 godzinnego cyklu wykładów przedstawię podstawowe własności wielomianu Jonesa z punktu widzenia matematyki, a następnie podam jego interpretację w terminach sum statystycznych.

1. Szczypta formalizmu kwantowej mechaniki statystycznej
2. Model Hubbarda i modele z niego się wywodzące: Falicova-Kimballa, Heisenberga, Isinga
3. Niektóre obserwable w modelu Hubbarda. Co chciałoby się wiedzieć
4. Niektóre znane fakty
5. . Otwarte problemy, ich status i perspektywy rozwiązania:
   • uporządkowania magnetyczne (ferromagnetyzm, antyferromagnetyzm,
   • przejście metal-izolator (MIT)
   • nadprzewodnictwo
   • nadciekłość i kondensacja Bosego-Einsteina w gazach atomowych