Koło matematyczne I LO w Białymstoku

Do wszystkich zadań są wskazówki. W razie, gdyby ktoś zobaczył błąd -- piszcie!

Niech przestrzeń będzie z Wami! J.

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: zadania.tex
%     Created: Thu Jan 30 08:00 AM 2014 C
% Last Change: Thu Jan 30 08:00 AM 2014 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=25.5cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
    %\vspace*{-1.5cm}
    \stepcounter{section}%
    \begin{center}%
        \begin{minipage}{2.5cm}
            \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
        \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
            \begin{center}
                {\Huge \bfseries \center #1}
 
                \vskip 1mm
                \small \normalfont \sc
                \author{}\\
                \date{}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}
    \HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
    \vskip 3mm
    \noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
    \stepcounter{problem}
    \vskip 3mm
    \noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
    {
 
    }
\newcounter{wskaz}
\newenvironment{wskazowka}[1][]{
    \stepcounter{wskaz}
    \vskip 3mm
    \noindent{\textsc{{\bfseries Wskazówka \thewskaz{}} #1}}\\}
    {
 
    }
 
    \pagestyle{empty}
 
    \def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
    \renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
    \renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
    \renewcommand{\leq}{\leqslant}
    \renewcommand{\geq}{\geqslant}
    \renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
    \def\sectionwidth{6cm}
    \def\headpicture{micek-2cm.jpg}
    \def\author{(a~miejscami nawet surround)}
    \def\date{30 stycznia 2014}
    \begin{document}
    \section{Stereo}
 
    \emph{To kółko wiele zawdzięcza niezrównanym artykułom Michała Kiezy
    z~,,Kącika Przestrzennego'' Delty. Oprócz tego zadania pochodzą z~OMów
    oraz prezentacji Adama Osękowskiego. Prawdopodobnie są w~nich literówki (albo
i~gorzej). Gdyby ktoś coś zobaczył, proszę o~informację na maila; poprawię.}
    \vspace{1em}
 
    Ogólne fakty: w~czworościanie istnieje środek ciężkości (leżący na
    przecięciu czterech odcinków łączących wierzchołki ze środkami ciężkości
    ścian), na czworościanie
    można opisać sferę i~można weń wpisać sferę.
 
    \subsection*{Punkty wyróżnione $\star$}
 
    W~tym akapicie dany jest czworościan $ABCD$. Skonstruujemy trzy (nie
    cztery) punkty wyróżnione tego czworościanu. Niekoniecznie trzeba umieć
    uzasadnić konstrukcje, ale czasami warto je znać.
 
    \emph{Wskazówka do wszystkich dowodów: jak się dowodzi istnienia na
    płaszczyźnie?}
 
    \begin{problem}
        Uzasadnij, że czterech odcinków łączących wierzchołki ze środkami
        ciężkości przeciwległych ścian przecinają się w~jednym punkcie $M$.
        Nazywamy go \emph{środkiem ciężkości} czworościanu.
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Uzasadnij, że sześć płaszczyzn symetralnych do krawędzi czworościanu
        przecina się w~jednym punkcie $O$. Nazywamy go \emph{środkiem sfery
        opisanej} na czworościanie. Uzasadnij, że zaiste istnieje (jedyna) sfera
        przechodząca przez punkty $ABCD$ o~środku w~$O$.
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        \emph{Płaszczyzna dwusieczna} kąta pomiędzy dwoma płaszczyznami to
            zbiór punktów równoodległych od tych płaszczyzn. Uzasadnij, że
            cztery płaszczyzny dwusieczne kątów pomiędzy ścianami czworościanu
            przecinają się w~jednym punkcie $I$. Nazywamy go \emph{środkiem
            sfery wpisanej} w~czworościan. Uzasadnij, że zaprawdę istnieje
            (jedyna)
            sfera styczna do ścian czworościanu $ABCD$ o~środku w~$I$.
    \end{problem}
 
 
    \subsection*{Proste prostopadłe}
 
    Kluczowe są następujące dwie uwagi
    \begin{enumerate}
        \item jeżeli dwie nierównoległe proste $m_1, m_2$ leżące w~danej płaszczyźnie są
            prostopadłe do prostej $\ell$, to cała płaszczyzna zawierająca
            $m_1$ i~$m_2$ jest prostopadła do $\ell$.
        \item jeżeli prosta $\ell$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$, to
            jest prostopadła do dowolnej prostej z~tej płaszczyzny.
    \end{enumerate}
 
    \begin{problem}[Twierdzenie o~trzech prostopadłych, ważne!]
        Dany jest punkt $A$ i~prosta $\ell$ leżąca na płaszczyźnie $\pi$.
        Niech $H$ oznacza rzut $A$ na $\pi$. Udowodnij, że rzuty punktów $A$ i~$H$ na
        prostą $\ell$ pokrywają się.
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Dane są odcinki $CD$ i~$AB$. Uzasadnij, że $CD\perp AB$ wtedy i~tylko
        wtedy, gdy rzuty $C$ i~$D$ na $AB$ pokrywają się.
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Wszystkie kąty przy wierzchołku $A$ czworościanu $ABCD$ są proste.
        Wykaż, że rzut $H$ punktu $A$ na płaszczyznę $BCD$ jest ortocentrum
        trójkąta $BCD$.
    \end{problem}
 
    \begin{problem}[ważne!]
        Uzasadnij, że proste $l$ i~$m$ leżą w~jednej płaszczyźnie wtedy
        i~tylko wtedy, gdy są równoległe lub przecinają się.
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Dany jest czworościan $ABCD$.
        Wykaż, że jeżeli wysokości poprowadzone z~punktów $A$ i~$B$ tego
        czworościanu przecinają się, to proste $AB$ i~$CD$ są prostopadłe.
 
        \emph{Zatem ogólnie w~czworościanie wysokości nie przecinają się
        w~jednym punkcie~--- niekoniecznie istnieje ortocentrum.}
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Krawędź $AD$ czworościanu $ABCD$ jest prostopadła do płaszczyzny
        $ABC$. Uzasadnij, że rzut ortocentrum trójkąta $ABC$ na płaszczyznę
        $BCD$ jest ortocentrum trójkąta $BCD$.
    \end{problem}
 
    \subsection*{Równość stycznych i~ulubiony lemat MK}
 
    Poniższe twierdzenie jest kluczowe w~stereometrii. Warto przeanalizować
    wszystkie dowody, by przy okazji nauczyć się pożytecznych rzeczy.
 
    \begin{thm}[Najmocniejsze twierdzenie stereometrii, ważne!]
        Niech $o$ będzie sferą, a~$P$ dowolnym punktem poza kulą, której brzegiem
        jest $o$. Wtedy wszystkie styczne z~$P$ do $o$ mają równe długości.
    \end{thm}
 
    \begin{proof}[I~dowód]
        Niech $O$ oznacza środek sfery, $r$ jej promień, zaś $X$ będzie dowolnym punktem
        styczności. Wtedy trójkąt $PXO$ jest prostokątny i~z~twierdzenia
        Pitagorasa $PX = \sqrt{PO^2 - XO^2} = \sqrt{PO^2 - r^2}$. To nie
        zależy od punktu $X$.
    \end{proof}
 
    \begin{proof}[II dowód]
        Niech $O$ będzie środkiem sfery $o$.
        Rozważmy dowolne dwa punkty styczności $X$ i~$Y$ oraz płaszczyznę
        $\pi$ zawierającą $P$, $X$ i~$Y$. Niech $u = o\cap \pi$ będzie
        okręgiem wycinanym przez $\pi$, zaś $U$ jego środkiem.
        Punkt $O$ jest równoodległy od punktów $u$, więc jego rzut również,
        zatem $U$ jest rzutem $O$ na $\pi$. Skoro $XO\perp PX$
        i~$OU\perp \pi \supseteq PX$, to $UX\perp PX$. Podobnie $UY\perp PY$.
        Skoro tak, to $PX$ i~$PY$ są styczne do okręgu $o$, więc $PX = PY$.
    \end{proof}
 
    \begin{proof}[Szkic III dowodu]
        Niech $O$ oznacza środek sfery $o$ i~niech $o_2$ będzie sferą o~środku
        w~środku odcinka $OP$ i~promieniu takim, że $O\in o_2$. Niech $X$
        będzie dowolnym punktem styczności, wtedy $ \angle PXO = 90^\circ$,
        więc $X\in o_2$.
 
        Skoro tak, to zbiór punktów styczności jest okręgiem, który jest
        przecięciem sfer $o$ i~$o_2$
        (\emph{pomyśl o~tym okręgu dostatecznie długo, by wydało się to
        oczywiste, przynajmniej ,,na rysunku''}!).
        Niech $u = o \cap o_2$ oznacza ten okrąg.
        Sfery $o$ i~$o_2$ nie zmieniają się przy
        obrocie wokół $OP$, więc również $u$ nie zmienia się przy tym
        obrocie. A~to znaczy, że środek $u$ leży na $OP$ i~$u$ leży
        w~płaszczyźnie prostopadłej do $OP$.
 
        Styczne z~punktu $P$ do $o$ to odcinki łączące $P$ z~punktami $u$,
        czyli tworzące pewnego stożka, które mają równe długości
        (\emph{to prosty wniosek z~Pitagorasa}).
    \end{proof}
 
    Prawdziwa siła tego twierdzenia wynika z~faktu, że, w~przeciwieństwie do
    płaszczyzny, stycznych jest nieskończenie wiele.
 
    \begin{problem}
        Sfera wpisana w~czworościan $ABCD$ jest styczna do ściany $ABC$ w~$P$
        zaś do ściany $ABD$ w~$Q$. Uzasadnij, że $ \angle APB =  \angle AQB$.
        Dowiedź także, że $ \angle APC =  \angle BQD$.
 
        \emph{Narysuj wszystkie punkty styczności sfery i~sprawdź, które kąty
        przy tych punktach są równe!}
    \end{problem}
 
    \begin{problem}[$\star\star$]
        Zdefiniuj sferę dopisaną do ściany $ABC$ czworościanu $ABCD$
        i~dowiedź, że sfera ta istnieje.
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Niech $s$ będzie sferą wpisaną w~czworościan $ABCD$, zaś $s'$ będzie
        sferą dopisaną do ściany $ABC$ tego czworościanu.
        Niech $P$, $Q$ będą punktami styczności sfer $s$, $s'$ do płaszczyzny
        $ABD$. Uzasadnij, że punkty $P$, $Q$, $D$ są współliniowe.
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Czy rzut środka sfery opisanej na czworościanie $ABCD$ na
        ścianę $ABC$ jest środkiem okręgu opisanego na $ABC$? Czy rzut środka
        sfery wpisanej w~$ABCD$ jest środkiem okręgu wpisanego?
    \end{problem}
 
    \subsection*{Miscellanea i~zadania z~OMów}
 
    \begin{problem}
        Okręgi wpisane w~ściany $ABC$ i~$ABD$ czworościanu $ABCD$ są styczne do
        krawędzi $AB$ w~tym samym punkcie. Wykaż, że punkty styczności tych okręgów
        z~krawędziami $AC$, $BC$ oraz $AD$, $BD$ leżą na jednej sferze.
    \end{problem}
 
    \begin{problem}[$\star$]
W~czworościanie $ABCD$ krawędź $AB$ jest prostopadła do kra\-wędzi $CD$
i~$\angle ACB=\angle ADB$. Udowodnij, że płaszczyzna wyznaczona przez krawędź
$AB$ i~środek krawędzi $CD$ jest prostopadła do krawędzi $CD$.
\end{problem}
 
\begin{problem}[59 OM]
    Dany jest ostrosłup czworokątny $ABCDS$ o~podstawie $ABCD$, będącej
    czworokątem wypukłym. Sfera wpisana w~ten ostrosłup jest styczna do $ABCD$
    w~$P$. Uzasadnij, że $ \angle APB +  \angle CPD = 180^\circ$.
\end{problem}
 
\begin{problem}[61 OM]
    Punkty $A'$, $B'$, $C'$ są odpowiednio rzutami prostokątnymi wierzchołków
    $A$, $B$, $C$ czworościanu $ABCD$ na przeciwległe ściany. Dowieść, że
    jeżeli punkt $A'$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $BCD$,
    punkt $B'$ jest środkiem okręgu wpisanego w~trójkąt $ACD$, zaś punkt $C'$
    jest środkiem ciężkości trójkąta $ABD$, to czworościan $ABCD$ jest
    foremny.
\end{problem}
 
\begin{problem}[61 OM]
    Dany jest czworościan $ABCD$, którego ściany są trójkątami ostrokątnymi.
    Na prostej $\ell$ leży środek sfery wpisanej oraz środek sfery opisanej na
    tym czworościanie. Udowodnij, że jeśli prosta $\ell$ przecina odcinek
    $AB$, to $ \angle ACB =  \angle ADB$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $M$ będzie środkiem ciężkości ściany $ABC$ czworościanu $ABCD$. Uzasadnij, że
    objętości czworościanów $ABMD$, $BCMD$ i~$CAMD$ są równe.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $I$ będzie środkiem sfery wpisanej w~czworościan $ABCD$, zaś $I'$
    będzie leżał na odcinku $DI$. Uzasadnij, że
    odległości $I'$ od ścian $ABD$, $BCD$, $CAD$ są równe.
\end{problem}
 
\begin{problem}[63 OM]
    Udowodnij, że w~czworościanie $ABCD$ wierzchołek $D$, środek sfery
    wpisanej oraz środek ciężkości czworościanu leżą na jednej prostej wtedy
    i~tylko wtedy, gdy pola trójkątów $ABD$, $BCD$ i~$CAD$ są równe.
\end{problem}
 
\begin{problem}[62 OM]
    W~czworościanie rozważamy dwusieczne trzech kątów płaskich mających
    wspólny wierzchołek. Wykaż, że jeśli dwie z~tych dwusiecznych są
    prostopadłe, to wszystkie one są wzajemnie prostopadłe.
\end{problem}
 
\subsection*{Wskazówki do zadań}
 
\begin{wskazowka}
    Jeżeli wierzchołki mają współrzędne (w~jakimkolwiek układzie) $(x_A, y_A,
    z_A)$, $(x_B, y_B, z_B)$, $(x_C, y_C, z_C)$, $(x_D, y_D, z_D)$, to środek
    ciężkości ma współrzędne
    \[
        \left( \frac{\sum x_i}{4}, \frac{\sum y_i}{4}, \frac{\sum z_i}{4}
        \right).
    \]
 
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    \emph{Płaszczyzna symetralna} odcinka $AB$ to płaszczyzna przechodząca
    przez środek $AB$ i~prostopadła do $AB$. Z~drugiej strony płaszczyzna ta
    to \emph{zbiór punktów równoodległych od $A$ i~$B$}. Tę ważną własność
    warto sprawdzić lub choć zapamiętać. Mając ją, przecinamy trzy symetralne
    i~uzasadniamy, że pozostałe trzy przechodzą przez punkt przecięcia.
    Dlaczego trzy symetralne mają punkt przecięcia (nie ma
    problemów z~równoległością)? Gdyby nie, to czworościan złożyłby się do
    płaskiego.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Na początek trzeba skonstruować dwusieczną. Łatwiej to zrobić niż
    zapisać \ldots
    Niech $\pi$ i~$\pi'$ będą dwoma półpłaszczyznami przecinającymi się na
    prostej $m$. Niech $\sigma$ będzie płaszczyzną prostopadłą, załóżmy, że
    przecina ona $\pi$ w~półprostej $l$ i~$\pi'$ w~półprostej $l'$. \emph{Płaszczyzna dwusieczna}
    kąta dwuściennego pomiędzy $\pi$ i~$\pi'$ to płaszczyzna przechodząca
    przez $m$ i~dwusieczną kąta pomiędzy półprostymi $l$ i~$l'$. Konstrukcja
    nie zależy od wyboru $\sigma$.
 
    Teraz, podobnie jak w~poprzednim zadaniu, trzeba sprawdzić, że płaszczyzna
    dwusieczna kąta to zbiór tych punktów wewnątrz kąta, które są równoodległe
    od obu ścian kąta.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    \emph{To ważne zadanie dobrze pokazuje metodę manipulacji prostopadłością.
    Jak zwykle warto wyobrazić sobie rysunek.}
 
    Niech $H'$ oznacza rzut $A$ na $\ell$. Wtedy $AH'\perp \ell$ z~definicji.
    Z~drugiej strony $AH\perp \ell$, gdyż $AH\perp \pi$ a~$\ell$ leży
    w~$\pi$. Wobec tego proste $AH'$ i~$AH$ w~płaszczyźnie $AHH'$ są
    prostopadłe do $\ell$, więc cała $AHH'$ jest prostopadła, a~stąd $HH'\perp
    \ell$. To dowodzi, że $H'$ jest rzutem $H$ na $\ell$.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Jeżeli rzuty $C$ i~$D$ pokrywają się, to, oznaczając rzut przez $K$, mamy
    $CK\perp AB$ i~$DK\perp AB$, więc cała
    płaszczyzna $CDK$ jest prostopadła do $AB$, stąd $CD\perp AB$.
 
    Z~drugiej strony załóżmy, że $CD\perp AB$ i~niech $K$ będzie rzutem $C$ na
    $AB$. Wtedy również $CDK$ jest prostopadła do $AB$, więc $DK$ jest rzutem
    $D$ na $AB$.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Wystarczy pokazać, że $BH$ jest prostopadłe do $CD$ (i~analogicznie dla
    $CH$ i~$DH$). Ale $AH\perp BCD$, więc $AH\perp CD$ oraz $AB \perp ACD$,
    więc $AB\perp CD$. Stąd też $ABH\perp CD$, więc $BH\perp CD$.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Jeżeli $l$ i~$m$ leżą w~jednej płaszczyźnie, to jest to oczywiste. Jeżeli
    $l$ i~$m$ przecinają się, to leżą w~płaszczyźnie zawierającej $l$
    i~dowolny punkt z~$m$ inny niż punkt przecięcia. Jeżeli $l$ i~$m$ są
    prostopadłe, to leżą w~płaszczyźnie zawierającej $l$ i~dowolny punkt $m$.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Na mocy poprzedniego zadania wysokości $AH_1$ i~$BH_2$ leżą w~pewnej płaszczyźnie
    $\pi$. Mamy $AH_1\perp BCD$ oraz $BH_2\perp ACD$, więc $\pi \perp CD$. Ale
    $AB \subseteq \pi$, więc $AB \perp CD$.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Niech $J$ oznacza ortocentrum $ABC$, zaś $H$ oznacza jego rzut na $BCD$.
    Wystarczy pokazać, że $BH \perp CD$, wtedy analogicznie $CH \perp BD$
    i~mamy tezę.
    Mamy $BH\perp AC$ i~$BH \subseteq ABC\perp AD$, więc $BH\perp CD$.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Z~równości stycznych $AP = AQ$ i~$BP = BQ$, więc $ \triangle ABP \equiv
     \triangle ABQ$, w~szczególności $ \angle APB =  \angle AQB$.
     Druga równość wynika z~pierwszej: najlepiej narysować siatkę
     czworościanu, zaznaczyć wszystkie 12 kątów (6 par kątów równych) przy 4 punktach styczności
     sfery wpisanej i~sprawdzić, że $ \angle APC =  \angle BQD$ bezpośrednimi
     obliczeniami.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    \emph{Sfera dopisana} to sfera styczna do trójkąta $ABC$ i~płaszczyzn
    zawierających pozostałe ściany czworościanu $ABCD$ taka, że jej środek
    leży poza $ABCD$.
 
    By ją skonstruować, trzeba przypomnieć, jak był konstruowany okrąg
    dopisany: jako przecięcie dwusiecznej kąta i~dwusiecznej kąta
    zewnętrznego. Środek sfery dopisanej leży na przecięciu dwóch dwusiecznych
    kątów dwuściennych i~jednego dwusiecznej kąta zewnętrznego dwuściennego
    (co to jest?).
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Punkty styczności to rzuty środków odpowiednich sfer. Środki te oraz punkt
    $D$ leżą na pewnej prostej $\ell$. Prosta $\ell$ jest przecięciem
    dwusiecznych trzech kątów dwuściennych: pomiędzy $ABD$ i~$BCD$, pomiędzy
    $BCD$ i~$CAD$ oraz pomiędzy $CAD$ i~$ABD$.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Rzut środka sfery opisanej jest środkiem okręgu opisanego na mocy
    twierdzenia Pitagorasa. Dla sfery wpisanej nie jest to prawdą:
    nieformalnym przykładem jest np.~czworościan o~pięciu krawędziach równej
    długości $a$, zaś~piątej krawędzi b. krótkiej w~porównaniu z~$a$.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Niech $\pi$ oznacza prostopadłą do $AB$ w~punkcie styczności okręgów.
    Niech proste $l_1$ i~$l_2$ oznaczają prostopadłe $ABC$ i~$ABD$
    przechodzące przez środki okręgów wpisanych. Wtedy $l_1$ i~$l_2$ leżą
    w~$\pi$, więc przecinają się (dlaczego nie są równoległe?), punkt
    przecięcia jest środkiem sfery.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
 
    Z~równości kątów wynika, na mocy twierdzenia sinusów, że promienie okręgów
    opisanych na $ABC$ i~$ABD$ są równe. Niech $O$ będzie środkiem sfery
    opisanej na $ABCD$. Z~równości promieni  i~twierdzenia Pitagorasa
    stwierdzamy, że $O$ jest równoodległy od płaszczyzn $ABC$ i~$ABD$. Wobec
    tego $ABO$ jest dwusieczną kąta dwuściennego pomiędzy $ABC$ i~$ABD$.
 
    Niech $K$ oznacza rzut $C$ na $AB$; skoro $CD\perp AB$ to $K$ jest także
    rzutem $D$ na $AB$. Wystarczy wykazać, że $KM\perp CD$. Niech $\pi$ będzie
    płaszczyzną $CDK$. Niech $\ell = ABO\cap \pi$, wtedy $\ell$ jest
    dwusieczną $CKD$ oraz $\ell$ zawiera środek okręgu opisanego na $CKD$.
    Wobec tego $CKD$ jest równoramienny i~$KM\perp CD$.
\end{wskazowka}
 
\begin{wskazowka}
    Narysuj siatkę, zaznacz wszystkie punkty styczności i~wszystkie kąty równe
    przy nich i~przelicz.
\end{wskazowka}
 
\end{document}