|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{15cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{25 października 2013}
\begin{document}
\section{Mix teorio-liczbowy I}
\emph{Zadania wzięte m.in. ze Staszica i~kółka uniwersyteckiego z~Zielonej
Góry. Dziękuję!}
Teoria na dziś: małe twierdzenie Fermata i~tw. chińskie o~resztach. Ale
przydają się tylko w~niektórych zadaniach :)
\def\floor#1{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\begin{problem}
Znajdź wszystkie $x$ rzeczywiste, spełniające równanie $4x^2
-40\floor{x} + 31 = 0$.
\emph{Symbol $\floor{x}$ oznacza największą
liczbę całkowitą nie większą od $x$.}
\end{problem}
\begin{problem}
Jaką resztę z~dzielenia przez $21$ daje liczba $2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}$?
\end{problem}
\begin{problem}
Udowodnij, że liczba $513^2$ dzieli liczbę $514^{514} - 514^2 + 514 - 1$.
\end{problem}
\begin{problem}
Wskaż największą liczbę naturalną $D$ taką, że dzieli ona liczbę
$n^{6} - n^2$ dla dowolnego $n$ naturalnego.
\end{problem}
\begin{problem}
Liczba pierwsza $p$ dzieli liczbę $\underbrace{11\dots11}_{p\mbox{
jedynek}}$. Uzasadnij, że $p = 3$.
\end{problem}
\begin{problem}
Scharakteryzuj liczby naturalne niewystępujące w~ciągu $a_0, a_1, a_2,
\dots$, gdzie $a_n = n +
\floor{\sqrt{n} + \frac{1}{2}}$.
\emph{Symbol $\floor{x}$ oznacza największą
liczbę całkowitą nie większą od $x$.}
\end{problem}
\begin{problem}
Liczby $a, b, c, d, e, f$ są całkowite dodatnie.
Udowodnij, że jeśli $a^3 + b^3 = c^3 + d^3 = e^3 + f^3$, to liczba $a
+ b + c + d + e + f$ jest złożona.
\end{problem}
\begin{problem}
Czy wśród liczb $10^{n} + 3$, gdzie $n=0, 1, 2, \dots$, występuje
nieskończenie wiele liczb złożonych?
\end{problem}
\begin{problem}
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, z~których każda ma co
najmniej $2013$ różnych dzielników?
\emph{Wskazówka: chińskie twierdzenie o~resztach.}
\end{problem}
\begin{problem}
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, z~których każda ma co
najmniej $2013$ różnych dzielników pierwszych?
\end{problem}
\end{document}
|
